Divisibilité et critères

En une phrase

Un critère de divisibilité, c'est une astuce pour deviner d'un coup d'oeil si un nombre est divisible par 2, 3, 5 ou 9, sans avoir à poser l'opération. Tu regardes juste le dernier chiffre ou la somme des chiffres.

Comprendre

Dire qu'un entier est divisible par un autre, c'est dire que la division tombe juste, sans reste : le second est un diviseur du premier. Pour le vérifier rapidement, tu n'as pas besoin de poser la division : il existe des critères très simples. Pour 2 : un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 (ce sont les nombres pairs).

Pour 5 : un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Pour 3 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Prends 558 : son dernier chiffre est 8, donc il est divisible par 2 ; la somme de ses chiffres est 5 + 5 + 8 = 18, et 18 est divisible par 3 et par 9, donc 558 est divisible par 3 et par 9 ; mais son dernier chiffre n'est ni 0 ni 5, donc il n'est pas divisible par 5. Remarque que pour 3 et pour 9 on peut recommencer sur la somme : pour 18, on refait 1 + 8 = 9. Ces critères te font gagner un temps fou pour reconnaître un diviseur, simplifier une fraction ou décomposer un nombre.

Le cours

Un entier b est un diviseur d'un entier a lorsque la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire que le reste est nul : on dit alors que a est divisible par b. Plutôt que de poser chaque division, on utilise des critères de divisibilité qui donnent la réponse en regardant l'écriture du nombre. Critère par 2 : un entier est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités (le dernier) est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; ce sont les nombres pairs.

Critère par 5 : un entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Critère par 3 : un entier est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est elle-même divisible par 3. Critère par 9 : un entier est divisible par 9 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 9. Exemple détaillé avec 4230 : son dernier chiffre est 0, donc il est divisible par 2 et par 5 ; la somme de ses chiffres est 4 + 2 + 3 + 0 = 9, et 9 est divisible par 3 et par 9, donc 4230 est divisible par 3 et par 9. Attention à ne pas confondre les critères : le dernier chiffre sert pour 2 et 5, la somme des chiffres sert pour 3 et 9. Tout nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3 (car si la somme des chiffres est un multiple de 9, c'est aussi un multiple de 3), mais la réciproque est fausse : 12 est divisible par 3 (1 + 2 = 3) sans l'être par 9. Ces critères sont la première brique de l'arithmétique : ils servent à trouver les diviseurs d'un nombre, donc à décomposer en facteurs premiers et à simplifier les fractions.

Les erreurs fréquentes

Pour savoir si un nombre est divisible par 3, on regarde son dernier chiffre, comme pour 2 ou 5.

Le dernier chiffre sert pour 2 et 5 ; pour 3 (et pour 9) c'est la SOMME des chiffres qu'il faut tester. Par exemple 21 finit par 1, mais 2 + 1 = 3 : il est bien divisible par 3.

Tous les nombres divisibles par 3 sont aussi divisibles par 9.

Faux : 12 est divisible par 3 (1 + 2 = 3) mais pas par 9 (1 + 2 = 3 n'est pas divisible par 9). C'est la réciproque qui est vraie : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3.

Tu maîtrises la notion si…

• Appliquer le bon critère selon le diviseur : dernier chiffre pour 2 et 5, somme des chiffres pour 3 et 9.
• Reconnaître si un entier donné est divisible par 2, 3, 5 ou 9 sans poser la division.
• Justifier qu'un nombre est (ou n'est pas) un diviseur d'un autre en citant le critère utilisé.

Vérifie que tu as compris

1. Parmi ces nombres, lequel est divisible par 3 ?

   Réponse 201

   Critère : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est. 2+0+1 = 3, divisible par 3.

2. Quel nombre est divisible par 9 ?

   Réponse 270

   Critère de 9 : la somme des chiffres est divisible par 9. 2+7+0 = 9, donc 270 est divisible par 9.

3. Par quel chiffre se termine forcément un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 ?

   Réponse 0

   Divisible par 2 : le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Divisible par 5 : le dernier chiffre est 0 ou 5. Le seul chiffre présent dans les deux listes est 0, donc un nombre divisible par 2 et par 5 est divisible par 10, comme 250 ou 4 230.