Rendre une fraction irréductible

En une phrase

Une fraction irréductible, c'est une fraction qu'on ne peut plus simplifier. Pour y arriver, tu divises le nombre du haut et le nombre du bas par un diviseur commun, autant de fois que possible. Par exemple, 12/18 = 2/3 en divisant les deux par 6.

Comprendre

Une même valeur peut s'écrire avec plusieurs fractions : 12/18, 6/9 et 2/3 désignent toutes le même nombre. La fraction la plus simple, celle qu'on ne peut plus réduire, s'appelle la fraction irréductible. Pour rendre une fraction irréductible, tu cherches un diviseur commun au numérateur (le nombre du haut) et au dénominateur (le nombre du bas), puis tu divises les deux par ce diviseur.

Tu recommences tant qu'il existe encore un diviseur commun. Avec 12/18, tu remarques que 12 et 18 sont tous les deux divisibles par 6 : 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3, donc 12/18 = 2/3. Tu t'arrêtes quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun à part 1 : la fraction est alors irréductible. Pour aller vite, le mieux est de diviser directement par le plus grand diviseur commun, mais tu peux aussi simplifier par étapes (12/18 par 2 donne 6/9, puis 6/9 par 3 donne 2/3) : le résultat est le même.

Ce qui compte, c'est de vérifier à la fin qu'on ne peut vraiment plus simplifier.

Le cours

Deux fractions sont égales lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Simplifier une fraction, c'est utiliser cette propriété pour l'écrire avec des nombres plus petits : on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1 ; on ne peut alors plus la simplifier.

Méthode pour rendre une fraction irréductible : (1) chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 aident, et la décomposition en facteurs premiers donne sûrement le plus grand diviseur commun) ; (2) diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun ; (3) recommencer tant qu'il existe encore un diviseur commun. Exemple : pour 12/18, le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est 6. On divise : 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3, donc 12/18 = 2/3. Comme 2 et 3 n'ont plus que 1 comme diviseur commun, la fraction 2/3 est irréductible. On obtient le même résultat en simplifiant par étapes : 12/18 = 6/9 (en divisant par 2), puis 6/9 = 2/3 (en divisant par 3).

Rendre une fraction irréductible permet de comparer plus facilement des fractions et de présenter un résultat sous sa forme la plus simple.

Les erreurs fréquentes

On divise seulement le numérateur (ou seulement le dénominateur), par exemple 12/18 devient 2/18 en divisant uniquement le haut par 6.

Pour simplifier une fraction, il faut diviser le numérateur ET le dénominateur par le même diviseur commun : 12/18 = 2/3 (les deux divisés par 6), et non 2/18.

On croit avoir terminé après une seule division alors que la fraction peut encore se simplifier, par exemple on s'arrête à 6/9.

Il faut vérifier qu'il n'y a plus de diviseur commun : 6 et 9 sont encore divisibles par 3, donc 6/9 = 2/3. La fraction n'est irréductible que lorsque le seul diviseur commun restant est 1.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus que 1 comme diviseur commun.
• Simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun.
• Rendre une fraction irréductible en répétant la simplification jusqu'à ce qu'aucun diviseur commun (autre que 1) ne subsiste.

Vérifie que tu as compris

1. La fraction 12/18 rendue irréductible s'écrit :

   Réponse 2/3

   On divise par le diviseur commun 6 : 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3.

2. Quel diviseur commun permet de simplifier 45/60 en une seule étape ?

   Réponse 15

   Le PGCD de 45 et 60 vaut 15, car 45 = 3² × 5 et 60 = 2² × 3 × 5 (facteurs communs 3 × 5). En une seule étape : 45 ÷ 15 = 3 et 60 ÷ 15 = 4, donc 45/60 = 3/4, irréductible. Diviser par 5 laisserait 9/12 et diviser par 3 laisserait 15/20 ; 180 est le PPCM, un multiple commun, pas un diviseur.

3. Léa simplifie 42/70 et écrit 21/35. A-t-elle terminé ?

   Réponse Non : 21/35 = 3/5 en divisant encore par 7

   Diviser 42/70 par 2 donne bien 21/35, mais 21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7 ont encore le diviseur commun 7 : 21/35 = 3/5, qui est irréductible. En une seule étape, on aurait divisé par le PGCD de 42 et 70, qui vaut 14. Diviser encore par 2 est impossible, car 21 est impair.