Multiplier plusieurs nombres relatifs

En une phrase

Quand tu multiplies plusieurs nombres relatifs, tu comptes combien il y a de « − ». Si ce nombre est pair (0, 2, 4…), le résultat est +. S'il est impair (1, 3, 5…), le résultat est −. Ensuite tu multiplies tous les nombres entre eux. Par exemple (−2) × (−3) × (−1) : trois « − », c'est impair, donc −, et 2 × 3 × 1 = 6, ce qui donne −6.

Comprendre

La règle des signes se prolonge naturellement à un produit de plusieurs facteurs : ce qui compte, c'est le NOMBRE de facteurs négatifs. Si ce nombre est PAIR (0, 2, 4…), le produit est POSITIF ; s'il est IMPAIR (1, 3, 5…), le produit est NÉGATIF. On calcule à part le produit des valeurs absolues (les distances à zéro).

L'idée : chaque paire de « − » se transforme en « + » (car (−) × (−) = +). S'il reste un « − » tout seul (nombre impair), il rend le résultat négatif ; s'il n'en reste aucun (nombre pair), le résultat est positif. Exemple 1 : (−2) × (−3) × (−1).

Il y a 3 facteurs négatifs, c'est impair, donc le résultat est négatif ; le produit des valeurs est 2 × 3 × 1 = 6, d'où −6. Exemple 2 : (−2) × (−3) × (+4). Il y a 2 facteurs négatifs, c'est pair, donc le résultat est positif ; 2 × 3 × 4 = 24, d'où +24. Exemple 3 : (−1) × (−1) × (−1) × (−2). Il y a 4 facteurs négatifs, c'est pair, donc positif ; le produit des valeurs est 1 × 1 × 1 × 2 = 2, d'où +2. La méthode est donc toujours la même : compter les « − », décider du signe par la parité, puis multiplier les valeurs.

Le cours

Multiplier plusieurs nombres relatifs revient à appliquer la règle des signes de proche en proche. Comme chaque couple de facteurs négatifs donne un produit positif ((−) × (−) = +), le signe final ne dépend que de la PARITÉ du nombre de facteurs négatifs. Règle : un produit de plusieurs relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif si ce nombre est impair (les facteurs positifs ne changent jamais le signe).

On calcule séparément le produit des distances à zéro. Exemple : (−2) × (−3) × (−1) compte 3 facteurs négatifs (impair) : le résultat est négatif ; comme 2 × 3 × 1 = 6, on obtient −6. De même (−2) × (−3) × (+4) compte 2 facteurs négatifs (pair) : le résultat est positif, et 2 × 3 × 4 = 24, d'où +24. Enfin (−1) × (−1) × (−1) × (−2) compte 4 facteurs négatifs (pair) : le résultat est positif, et 1 × 1 × 1 × 2 = 2, d'où +2. On peut aussi calculer pas à pas, de gauche à droite, en appliquant la règle des deux facteurs à chaque étape ; on retrouve le même signe. Cette lecture par la parité est rapide et fiable, et elle prépare le calcul des puissances d'un nombre négatif.

Les erreurs fréquentes

On pense que « plusieurs − donnent toujours + », donc (−2) × (−3) × (−1) = +6.

C'est la PARITÉ qui décide : 3 facteurs négatifs, c'est impair, donc le produit est négatif : (−2) × (−3) × (−1) = −6.

On compte aussi les facteurs positifs pour décider du signe.

Seuls les facteurs négatifs comptent : on regarde s'ils sont en nombre pair (→ +) ou impair (→ −). Les facteurs positifs ne changent pas le signe.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que le signe d'un produit dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs (pair → +, impair → −).
• Calculer (−2) × (−3) × (−1) = −6 en comptant 3 facteurs négatifs (impair).
• Calculer (−2) × (−3) × (+4) = +24 en comptant 2 facteurs négatifs (pair).

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−2) × (−3) × (−1) ?

   Réponse −6

   Il y a 3 facteurs négatifs, c'est un nombre impair, donc le produit est négatif ; 2 × 3 × 1 = 6, d'où −6.

2. Combien font (−1) × (−1) × (−1) × (−2) ?

   Réponse +2

   Il y a 4 facteurs négatifs, c'est un nombre pair, donc le produit est positif ; le produit des valeurs est 1 × 1 × 1 × 2 = 2, d'où +2.

3. Le produit (−4) × (+5) × (−2) vaut :

   Réponse +40

   On compte les facteurs négatifs : −4 et −2, soit deux, un nombre pair, donc le produit est positif. On multiplie ensuite les distances à zéro : 4 × 5 × 2 = 40, d'où +40. Le facteur positif +5 n'intervient pas dans le choix du signe.