Multiplier deux nombres relatifs

En une phrase

Quand tu multiplies deux nombres relatifs, tu fais deux choses. D'abord le signe : même signe → +, signes différents → −. Ensuite les nombres : tu multiplies les valeurs comme d'habitude. Par exemple (−5) × (−6) : même signe, donc +, et 5 × 6 = 30, ce qui donne +30.

Comprendre

Multiplier deux nombres relatifs se fait en deux temps : on cherche le SIGNE du résultat, puis on calcule le PRODUIT des valeurs absolues (la valeur absolue d'un nombre, c'est sa distance à zéro : le nombre lu sans son signe). La règle des signes tient en une phrase : « même signe → +, signes différents → − ». Il y a donc quatre cas : (+) × (+) = +, (−) × (−) = +, (+) × (−) = −, (−) × (+) = −.

Prends (−5) × (−6). Les deux facteurs sont négatifs : même signe, donc le résultat est POSITIF. On multiplie ensuite 5 × 6 = 30. Le résultat est +30. L'erreur la plus fréquente est d'écrire (−5) × (−6) = −30 : c'est confondre la multiplication avec l'addition.

En addition, (−5) + (−6) = −11 (on avance deux fois vers le bas). En multiplication, deux « − » se combinent et donnent un « + ». Autres exemples : (−7) × (+2) : signes différents, donc négatif, et 7 × 2 = 14, d'où −14 ; (+3) × (−8) : signes différents, donc négatif, et 3 × 8 = 24, d'où −24. Retiens le réflexe en deux étapes : 1) le signe (avec la règle « même signe / signes différents »), 2) le produit des valeurs.

Ne mélange jamais la règle du produit avec celle de l'addition.

Le cours

Un nombre relatif possède un signe (+ ou −) et une valeur absolue, c'est-à-dire sa distance à zéro : le nombre lu sans son signe. On note |−5| = 5 et |+5| = 5. Pour multiplier deux nombres relatifs, on détermine d'abord le signe du produit, puis on multiplie les valeurs absolues (les distances à zéro). La règle des signes du produit comporte quatre cas : (+) × (+) = +, (−) × (−) = +, (+) × (−) = −, (−) × (+) = −.

On la résume ainsi : deux facteurs de MÊME signe donnent un produit POSITIF, deux facteurs de signes DIFFÉRENTS donnent un produit NÉGATIF. On établit cette règle en deux étapes. D'abord le cas d'UN SEUL facteur négatif : (−5) × 6, c'est additionner six fois (−5), donc (−5) × 6 = −30. Ensuite le cas de DEUX facteurs négatifs, que l'on obtient grâce à la distributivité : 6 + (−6) = 0, donc (−5) × (6 + (−6)) = (−5) × 0 = 0 ; en distribuant, (−5) × 6 + (−5) × (−6) = 0, c'est-à-dire −30 + (−5) × (−6) = 0. Le produit (−5) × (−6) vaut donc +30 : c'est le seul nombre qui, ajouté à −30, donne 0. Exemple : pour (−5) × (−6), les deux facteurs sont négatifs (même signe), donc le produit est positif ; comme 5 × 6 = 30, on obtient (−5) × (−6) = +30. De même, (−7) × (+2) = −14 (signes différents, 7 × 2 = 14) et (+3) × (−8) = −24 (signes différents, 3 × 8 = 24).

Attention à ne pas confondre le produit et la somme : (−5) + (−6) = −11 (addition), alors que (−5) × (−6) = +30 (multiplication). En addition, deux nombres négatifs restent négatifs ; en multiplication, deux nombres négatifs donnent un résultat positif. Cette règle des signes est le socle de tout le calcul avec les relatifs : elle servira pour la division, pour les puissances et, plus tard, pour le calcul littéral.

Les erreurs fréquentes

On écrit (−5) × (−6) = −30, en gardant le signe « − » parce que les nombres sont négatifs.

Deux facteurs de même signe donnent un produit positif : (−5) × (−6) = +30. Deux « − » qui se multiplient donnent un « + ».

On confond le produit et la somme : (−5) × (−6) traité comme (−5) + (−6) = −11.

La multiplication n'est pas l'addition. (−5) + (−6) = −11, mais (−5) × (−6) = +30 (même signe → +, puis 5 × 6 = 30).

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la règle des signes du produit : même signe → +, signes différents → −.
• Calculer (−5) × (−6) = +30 en donnant d'abord le signe puis le produit des valeurs.
• Distinguer le produit (−5) × (−6) = +30 de la somme (−5) + (−6) = −11.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−5) × (−6) ?

   Réponse +30

   Les deux facteurs ont le même signe (négatif), donc le produit est positif ; on multiplie les valeurs 5 × 6 = 30, d'où +30 (et non −30 ; −11 serait l'addition (−5) + (−6)).

2. Combien font (−7) × (+2) ?

   Réponse −14

   Les signes sont différents, donc le produit est négatif ; 7 × 2 = 14, d'où −14.

3. Pour calculer un produit de deux relatifs, dans quel ordre travaille-t-on ?

   Réponse on cherche le signe, puis on multiplie les distances à zéro

   On applique d'abord la règle des signes (même signe donne +, signes différents donnent −), puis on multiplie les distances à zéro. Exemple : (−5) × (−6) a deux facteurs de même signe, donc le produit est positif, et 5 × 6 = 30, d'où +30.