Calculer une expression avec des relatifs

En une phrase

Quand une expression mélange +, −, × et ÷ avec des relatifs, tu fais d'abord les × et les ÷ (en gérant les signes), puis les + et les −. Par exemple −3 + (−2) × (−5) : le produit d'abord, (−2) × (−5) = +10, puis −3 + 10 = 7.

Comprendre

Les priorités opératoires que tu connais restent valables avec les nombres relatifs : les MULTIPLICATIONS et les DIVISIONS se font AVANT les additions et les soustractions. La seule nouveauté, c'est qu'il faut gérer les signes à chaque produit ou quotient. Méthode : 1) repérer les × et ÷, les calculer d'abord (avec la règle des signes) ; 2) faire ensuite les + et − de gauche à droite.

Exemple 1 : −3 + (−2) × (−5). On calcule d'abord le produit (−2) × (−5) = +10 (même signe → +), puis −3 + 10 = 7. Écrire −3 + (−2) × (−5) = 25 serait faux : cela reviendrait à faire (−3 + (−2)) × (−5), sans respecter la priorité du produit. Exemple 2 : 12 ÷ (−4) − (−3) × 2. On calcule les deux opérations prioritaires : 12 ÷ (−4) = −3 et (−3) × 2 = −6 ; il reste −3 − (−6) = −3 + 6 = 3 (soustraire (−6) revient à ajouter 6).

Ces calculs servent dans la vie réelle : variations de température, altitudes au-dessus ou en dessous du niveau de la mer, moyennes de gains et de pertes signés. On respecte toujours le même ordre, en soignant les signes.

Le cours

Une expression numérique avec des nombres relatifs se calcule en respectant les priorités opératoires, exactement comme avec des nombres positifs : d'abord les multiplications et les divisions (de gauche à droite), ensuite les additions et les soustractions (de gauche à droite). La différence est qu'il faut appliquer la règle des signes à chaque produit et à chaque quotient. Exemple : pour −3 + (−2) × (−5), on effectue d'abord le produit prioritaire (−2) × (−5) = +10 (même signe → positif), puis −3 + 10 = 7. Le résultat 25 serait faux : il correspondrait à (−3 + (−2)) × (−5), c'est-à-dire à additionner avant de multiplier.

Autre exemple : 12 ÷ (−4) − (−3) × 2. On calcule les opérations prioritaires : 12 ÷ (−4) = −3 (signes différents) et (−3) × 2 = −6 (signes différents) ; il reste alors −3 − (−6) = −3 + 6 = 3, car soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Ces expressions modélisent des situations concrètes : une variation de température (des baisses et des hausses successives), des altitudes positives ou négatives, ou la moyenne de gains et de pertes. Bien mener ces calculs, en combinant priorités et règle des signes, est un objectif central de la 4e et prépare le calcul littéral avec des relatifs.

Les erreurs fréquentes

On calcule de gauche à droite sans respecter la priorité : −3 + (−2) × (−5) = (−5) × (−5) = 25.

Le produit est prioritaire : (−2) × (−5) = +10 d'abord, puis −3 + 10 = 7. Le résultat est 7, pas 25.

On oublie que soustraire un négatif revient à ajouter : −3 − (−6) traité comme −3 − 6 = −9.

Soustraire (−6), c'est ajouter 6 : −3 − (−6) = −3 + 6 = 3.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que × et ÷ se calculent avant + et − aussi avec des relatifs.
• Calculer −3 + (−2) × (−5) = 7 en effectuant le produit prioritaire d'abord.
• Calculer 12 ÷ (−4) − (−3) × 2 = 3 en gérant les signes et la soustraction d'un négatif.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font −3 + (−2) × (−5) ?

   Réponse 7

   La multiplication est prioritaire : (−2) × (−5) = +10, puis −3 + 10 = 7 (et non (−3 + (−2)) × (−5) = 25).

2. Combien font 12 ÷ (−4) − (−3) × 2 ?

   Réponse 3

   Les × et ÷ d'abord : 12 ÷ (−4) = −3 et (−3) × 2 = −6, puis −3 − (−6) = −3 + 6 = 3.

3. Un ascenseur part du niveau −2. Il descend de 3 niveaux, deux fois de suite. À quel niveau arrive-t-il ?

   Réponse −8

   Descendre de 3 niveaux deux fois, c'est 2 × (−3) = −6. En partant de −2 : −2 + (−6) = −8. La multiplication se calcule avant l'addition. Une seule descente aurait donné −5, et −4 viendrait de (−2) × 2.