Diviser deux nombres relatifs

En une phrase

Diviser deux relatifs, c'est comme les multiplier pour le signe. Même signe → +, signes différents → −. Ensuite tu divises les valeurs. Par exemple (−12) ÷ (−4) : même signe, donc +, et 12 ÷ 4 = 3, ce qui donne +3. Diviser par un nombre, c'est aussi le multiplier par son inverse.

Comprendre

La division de deux nombres relatifs suit EXACTEMENT la même règle des signes que la multiplication : « même signe → +, signes différents → − ». On calcule ensuite le quotient des valeurs absolues (les distances à zéro). Pourquoi la même règle ?

Parce que diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse, et l'inverse garde le même signe que le nombre. Exemple 1 : (−12) ÷ (+3). Les signes sont différents, donc le quotient est négatif ; 12 ÷ 3 = 4, d'où −4. Exemple 2 : (−12) ÷ (−4).

Les deux termes sont négatifs (même signe), donc le quotient est positif ; 12 ÷ 4 = 3, d'où +3. Exemple 3 : (+15) ÷ (−5). Signes différents, donc négatif ; 15 ÷ 5 = 3, d'où −3. La méthode est toujours en deux temps : 1) le signe (règle des signes, identique au produit), 2) le quotient des valeurs. Attention à ne pas inventer une règle spéciale pour la division : c'est la même que pour la multiplication.

On retrouve d'ailleurs le résultat en vérifiant par le produit : (−12) ÷ (−4) = +3 car (+3) × (−4) = −12.

Le cours

Diviser deux nombres relatifs se fait avec la même règle des signes que la multiplication. En effet, diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse, et l'inverse d'un nombre a le même signe que ce nombre ; la règle des signes du quotient est donc identique à celle du produit : deux termes de même signe donnent un quotient positif, deux termes de signes différents un quotient négatif. On calcule ensuite le quotient des valeurs absolues (les distances à zéro).

Exemple : (−12) ÷ (+3) : signes différents, donc quotient négatif ; 12 ÷ 3 = 4, d'où −4. De même (−12) ÷ (−4) : même signe, donc quotient positif ; 12 ÷ 4 = 3, d'où +3. Et (+15) ÷ (−5) : signes différents, donc quotient négatif ; 15 ÷ 5 = 3, d'où −3. On peut toujours contrôler un quotient par la multiplication : (−12) ÷ (−4) = +3 est correct car (+3) × (−4) = −12. Cette règle unique pour × et ÷ simplifie les calculs et prépare les enchaînements d'opérations et le calcul avec des fractions relatives.

Les erreurs fréquentes

On croit que la division a une règle des signes différente de la multiplication.

C'est la MÊME règle : même signe → +, signes différents → −. Ainsi (−12) ÷ (−4) = +3, comme (−12) × (−4) = +48 : deux négatifs donnent un résultat positif.

On écrit (−12) ÷ (−4) = −3 en gardant le « − » des deux termes.

Deux termes de même signe donnent un quotient positif : (−12) ÷ (−4) = +3. On vérifie : (+3) × (−4) = −12.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la division des relatifs utilise la même règle des signes que la multiplication.
• Calculer (−12) ÷ (−4) = +3 en donnant d'abord le signe puis le quotient des valeurs.
• Vérifier un quotient de relatifs par la multiplication (ex. (+3) × (−4) = −12).

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−12) ÷ (+3) ?

   Réponse −4

   Les signes sont différents, donc le quotient est négatif ; on divise les distances à zéro : 12 ÷ 3 = 4, d'où −4.

2. Combien font (−12) ÷ (−4) ?

   Réponse +3

   Les deux termes ont le même signe (négatif), donc le quotient est positif ; 12 ÷ 4 = 3, d'où +3 (même règle des signes que le produit).

3. Une division de relatifs suit-elle la même règle des signes que la multiplication ?

   Réponse oui, exactement la même

   Pour un quotient comme pour un produit, deux nombres de même signe donnent un résultat positif et deux nombres de signes différents un résultat négatif. Ainsi (−12) ÷ (−4) = +3 et (−12) ÷ (+3) = −4.