Enchaîner × et ÷ de relatifs

En une phrase

Quand un calcul enchaîne des × et des ÷, aucune ne passe avant l'autre : tu vas simplement de gauche à droite. À chaque étape, tu appliques la règle des signes (même signe → +, signes différents → −). Par exemple (−2) × (+6) ÷ (−3) : d'abord (−2) × (+6) = −12, puis (−12) ÷ (−3) = +4.

Comprendre

La multiplication et la division ont la MÊME priorité : dans une suite de × et de ÷, on ne fait pas les × avant les ÷ ni l'inverse, on avance de GAUCHE à DROITE. À chaque étape, on applique la règle des signes (même signe → +, signes différents → −) et on calcule les valeurs. Exemple 1 : (−2) × (+6) ÷ (−3).

On commence à gauche : (−2) × (+6) = −12 (signes différents → négatif, 2 × 6 = 12). Il reste (−12) ÷ (−3) = +4 (même signe → positif, 12 ÷ 3 = 4). Résultat : +4. Exemple 2 : (−20) ÷ (−4) × (−1).

De gauche à droite : (−20) ÷ (−4) = +5 (même signe → positif, 20 ÷ 4 = 5), puis (+5) × (−1) = −5 (signes différents → négatif). Résultat : −5. L'erreur classique est de vouloir « faire toutes les multiplications d'abord » : c'est faux quand des divisions sont mélangées, car elles ont la même priorité. On respecte donc l'ordre d'écriture, étape par étape, sans jamais oublier de suivre le signe intermédiaire.

Le cours

Dans un calcul qui enchaîne uniquement des multiplications et des divisions, ces deux opérations ont la même priorité : on effectue les opérations de gauche à droite, dans l'ordre où elles sont écrites. À chaque étape, on applique la règle des signes des relatifs (même signe → +, signes différents → −) puis on calcule le produit ou le quotient des distances à zéro ; le signe obtenu est transporté à l'étape suivante. Exemple : (−2) × (+6) ÷ (−3).

On calcule d'abord (−2) × (+6) = −12 (signes différents, 2 × 6 = 12), puis (−12) ÷ (−3) = +4 (même signe, 12 ÷ 3 = 4). Autre exemple : (−20) ÷ (−4) × (−1) = (+5) × (−1) = −5 : on fait d'abord (−20) ÷ (−4) = +5, puis (+5) × (−1) = −5. Il ne faut pas donner la priorité à la multiplication sur la division (ou l'inverse) : elles sont au même niveau. Cette maîtrise de l'enchaînement, signe après signe, est indispensable pour calculer ensuite des expressions complètes où interviennent aussi des additions et des soustractions.

Les erreurs fréquentes

On effectue toutes les multiplications avant les divisions, par exemple en traitant (−30) ÷ (−5) × (−3) comme (−30) ÷ ((−5) × (−3)).

× et ÷ ont la même priorité : de gauche à droite. (−30) ÷ (−5) = +6 d'abord, puis (+6) × (−3) = −18. En groupant à tort, on trouverait (−30) ÷ (+15) = −2 : le résultat n'est pas le même.

On calcule les valeurs mais on oublie de suivre le signe intermédiaire d'une étape à l'autre.

À chaque étape, on note le signe : (−2) × (+6) = −12, puis (−12) ÷ (−3) = +4. Le signe se transporte étape après étape.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que × et ÷ ont la même priorité et se calculent de gauche à droite.
• Calculer (−2) × (+6) ÷ (−3) = +4 en appliquant la règle des signes à chaque étape.
• Calculer (−20) ÷ (−4) × (−1) = −5 en respectant l'ordre d'écriture.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−2) × (+6) ÷ (−3) ?

   Réponse +4

   × et ÷ ont la même priorité : de gauche à droite. (−2) × (+6) = −12, puis (−12) ÷ (−3) = +4.

2. Combien font (−20) ÷ (−4) × (−1) ?

   Réponse −5

   De gauche à droite : (−20) ÷ (−4) = +5, puis (+5) × (−1) = −5.

3. Marc calcule (−36) ÷ (+9) × (−2) et trouve +2. Quel est le bon résultat ?

   Réponse +8

   × et ÷ ont la même priorité : on calcule de gauche à droite. (−36) ÷ (+9) = −4, puis (−4) × (−2) = +8. Marc a effectué la multiplication d'abord : (+9) × (−2) = −18 puis (−36) ÷ (−18) = +2, ce qui ne respecte pas l'ordre d'écriture.