Multiplier des nombres relatifs

En une phrase

Quand tu multiplies deux relatifs, tu calcules d'abord avec les nombres « tout seuls », puis tu choisis le signe : même signe (+ et +, ou − et −) → résultat +, signes différents (+ et −) → résultat −.

Comprendre

Multiplier deux nombres relatifs se fait en deux temps, et c'est cette séparation qui rend tout simple. Premier temps : tu oublies un instant les signes et tu multiplies les deux nombres comme s'ils étaient positifs. Par exemple, pour (−3) × (−4), tu calcules d'abord 3 × 4 = 12. Deuxième temps : tu décides du signe du résultat grâce à la règle des signes.

Cette règle ne se discute pas : si les deux facteurs ont le MÊME signe (les deux positifs, ou les deux négatifs), le résultat est positif ; s'ils ont des signes CONTRAIRES (un positif et un négatif), le résultat est négatif. On résume souvent ainsi : (+) × (+) = +, (−) × (−) = +, (+) × (−) = −, (−) × (+) = −. Reprenons : (−3) × (−4) → deux signes − identiques → résultat +, donc +12. À l'inverse, (−3) × (+4) → un signe − et un signe + contraires → résultat −, donc −12. Le piège le plus courant est de confondre cette règle avec celle de l'addition : moins par moins ne fait PAS moins, il fait plus.

Garde bien en tête les deux étapes séparées (les nombres d'abord, le signe ensuite) et tu ne te tromperas plus.

Le cours

Multiplier deux nombres relatifs repose sur une méthode en deux étapes. Étape 1 : on multiplie les distances à zéro, c'est-à-dire les nombres sans tenir compte de leur signe. Étape 2 : on détermine le signe du produit avec la règle des signes.

La règle des signes pour la multiplication est la suivante : le produit de deux nombres de même signe est positif, et le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. On peut l'écrire sous forme de tableau : (+) × (+) = + ; (−) × (−) = + ; (+) × (−) = − ; (−) × (+) = −. Exemples de référence à connaître : (−3) × (−4) : on calcule 3 × 4 = 12, et comme les deux signes sont identiques (deux fois −), le résultat est positif : (−3) × (−4) = +12. De même, (−3) × (+4) : on calcule 3 × 4 = 12, mais les deux signes sont contraires (un − et un +), donc le résultat est négatif : (−3) × (+4) = −12. Il faut surtout éviter de confondre la règle de la multiplication avec celle de l'addition des relatifs : (−3) + (−4) donne −7, alors que (−3) × (−4) donne +12. Ce sont deux opérations différentes avec deux règles différentes.

Lorsqu'on multiplie plusieurs facteurs, une astuce permet de prévoir le signe du résultat : on compte le nombre de facteurs négatifs ; s'il est pair, le résultat est positif, s'il est impair, le résultat est négatif. Maîtriser la règle des signes est essentiel, car elle sert dans tout le calcul littéral et dans les divisions de relatifs, qui suivent exactement la même règle.

Les erreurs fréquentes

On applique la règle de l'addition à la multiplication : (−3) × (−4) = −12 car « moins par moins fait moins ».

Pour la multiplication, deux signes identiques donnent + : (−3) × (−4) = +12. C'est l'addition qui aurait donné un résultat négatif : (−3) + (−4) = −7.

On garde le signe − pour un produit de signes contraires, ou on oublie le signe : (−3) × (+4) = +12 ou = 12.

Deux signes contraires donnent − : (−3) × (+4) = −12. Le signe du résultat doit toujours être déterminé avec la règle des signes, jamais oublié.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la règle des signes : deux signes identiques donnent +, deux signes contraires donnent −.
• Multiplier deux relatifs en séparant le calcul des nombres et la détermination du signe.
• Justifier (−3) × (−4) = +12 et (−3) × (+4) = −12 en s'appuyant sur la règle des signes.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−3) × (−4) ?

   Réponse +12

   Deux signes identiques (− et −) donnent + ; 3 × 4 = 12, donc (−3) × (−4) = +12.

2. Combien font (−5) × (+3) ?

   Réponse −15

   Signes contraires (− et +) donnent − ; 5 × 3 = 15, donc (−5) × (+3) = −15.

3. Un plongeur descend de 4 m chaque minute. Quelle est son altitude après 6 minutes, s'il part de la surface ?

   Réponse −24 m

   Descendre de 4 m par minute, c'est une variation d'altitude de −4 m par minute. Après 6 minutes, l'altitude vaut (−4) × 6 : les signes sont différents, donc le produit est négatif, et 4 × 6 = 24, d'où −24 m. La valeur −10 correspondrait à l'addition (−4) + (−6).