Diviser des nombres relatifs

En une phrase

Diviser deux relatifs marche comme la multiplication : tu divises d'abord les nombres « tout seuls », puis tu choisis le signe. Même signe → +, signes différents → −.

Comprendre

La bonne nouvelle, c'est que diviser des nombres relatifs n'ajoute aucune règle nouvelle : c'est exactement la même règle des signes que pour la multiplication. Tu procèdes en deux temps. Premier temps : tu divises les deux nombres en oubliant un instant leurs signes.

Par exemple, pour (−12) ÷ (+3), tu calcules d'abord 12 ÷ 3 = 4. Deuxième temps : tu détermines le signe du quotient avec la règle des signes. Cette règle est identique à celle de la multiplication : si le dividende et le diviseur ont le MÊME signe, le résultat est positif ; s'ils ont des signes CONTRAIRES, le résultat est négatif. On écrit : (+) ÷ (+) = +, (−) ÷ (−) = +, (+) ÷ (−) = −, (−) ÷ (+) = −.

Reprenons : (−12) ÷ (+3) → un signe − et un signe + contraires → résultat −, donc −4. À l'inverse, (−12) ÷ (−3) → deux signes − identiques → résultat +, donc +4. Pourquoi la même règle que la multiplication ? Parce que diviser, c'est l'opération inverse de multiplier : si (−4) × (+3) = −12, alors forcément (−12) ÷ (+3) = −4. Le seul vrai piège est de croire qu'il existe une règle des signes spéciale pour la division : il n'y en a pas, c'est la même. Sépare bien les deux étapes (les nombres d'abord, le signe ensuite) et tu réussiras toutes tes divisions de relatifs.

Le cours

Diviser deux nombres relatifs se fait avec la même méthode et la même règle des signes que la multiplication. Étape 1 : on divise les nombres sans tenir compte de leur signe. Étape 2 : on détermine le signe du quotient avec la règle des signes, qui est identique à celle de la multiplication : le quotient de deux nombres de même signe est positif, et le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

Sous forme de tableau : (+) ÷ (+) = + ; (−) ÷ (−) = + ; (+) ÷ (−) = − ; (−) ÷ (+) = −. Exemples de référence à connaître : (−12) ÷ (+3) : on calcule 12 ÷ 3 = 4, et comme les signes sont contraires (un − et un +), le résultat est négatif : (−12) ÷ (+3) = −4. De même, (−12) ÷ (−3) : on calcule 12 ÷ 3 = 4, et comme les deux signes sont identiques (deux fois −), le résultat est positif : (−12) ÷ (−3) = +4. On peut comprendre pourquoi c'est la même règle : la division est l'opération inverse de la multiplication. Comme (−4) × (+3) = −12, on en déduit que (−12) ÷ (+3) = −4 ; et comme (+4) × (−3) = −12, on a aussi (−12) ÷ (−3) = +4. Il ne faut donc pas chercher une règle des signes différente pour la division : elle est exactement la même que pour la multiplication.

Maîtriser cette règle est indispensable pour le calcul avec les fractions et pour résoudre des équations.

Les erreurs fréquentes

On pense qu'il existe une règle des signes différente pour la division que pour la multiplication.

La règle des signes de la division est exactement la même que celle de la multiplication : signes identiques donnent +, signes contraires donnent −.

On se trompe de signe pour des signes contraires : (−12) ÷ (+3) = +4.

Les signes − et + sont contraires, donc le résultat est négatif : (−12) ÷ (+3) = −4. Seuls deux signes identiques donneraient un résultat positif.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la division de relatifs suit la même règle des signes que la multiplication.
• Diviser deux relatifs en séparant le calcul des nombres et la détermination du signe.
• Justifier (−12) ÷ (+3) = −4 et (−12) ÷ (−3) = +4 en s'appuyant sur la règle des signes.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−18) ÷ (+6) ?

   Réponse −3

   Signes contraires (− et +) : le quotient est négatif. Ensuite 18 ÷ 6 = 3, donc (−18) ÷ (+6) = −3. Soustraire au lieu de diviser (18 − 6) donnerait 12, un résultat sans rapport avec la question.

2. Combien font (−20) ÷ (−4) ?

   Réponse +5

   Deux signes identiques (− et −) donnent + ; 20 ÷ 4 = 5, donc (−20) ÷ (−4) = +5.

3. Un quotient de deux nombres relatifs est positif. Que peut-on dire de leurs signes ?

   Réponse ils sont de même signe

   La division suit la même règle des signes que la multiplication : deux signes identiques donnent un quotient positif. Les deux nombres sont donc soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, comme dans (−12) ÷ (−3) = +4.