La règle des signes

En une phrase

Pour connaître le signe d'un produit ou d'un quotient, tu n'as pas besoin de tout calculer : il suffit de compter les « − ». Deux signes pareils donnent +, deux signes différents donnent −. Et quand il y a plusieurs facteurs, un nombre pair de « − » donne +, un nombre impair de « − » donne −.

Comprendre

La règle des signes est la règle commune à la multiplication et à la division des nombres relatifs : elle permet de trouver le signe du résultat indépendamment des nombres eux-mêmes. Pour deux facteurs, elle se résume ainsi : deux signes identiques donnent un résultat positif, deux signes contraires un résultat négatif. On l'écrit (+) × (+) = +, (−) × (−) = +, (+) × (−) = −, (−) × (+) = −, et exactement de même pour la division.

Son vrai intérêt apparaît quand on multiplie PLUSIEURS facteurs : plutôt que d'appliquer la règle deux par deux, on compte simplement le nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est PAIR, le produit est positif ; s'il est IMPAIR, le produit est négatif. Prenons (−2) × (−3) × (−1) : il y a trois facteurs négatifs.

Trois est impair, donc le résultat est négatif. On calcule ensuite les distances (les nombres sans les signes) : 2 × 3 × 1 = 6, et comme le signe est négatif, on obtient (−2) × (−3) × (−1) = −6. À l'inverse, (−2) × (−3) compte deux facteurs négatifs : deux est pair, donc le résultat est positif, +6. Les facteurs positifs, eux, n'ont aucune influence sur le signe. Le seul piège est de mal compter les signes « − » : il faut les repérer un par un, sans en oublier ni en ajouter.

Cette règle rend le calcul beaucoup plus rapide et sert dans tout le calcul littéral.

Le cours

La règle des signes est le cœur du calcul avec les nombres relatifs : c'est la même règle pour la multiplication et pour la division. Elle se formule en deux temps. Pour un produit ou un quotient de DEUX nombres relatifs : le résultat est positif si les deux nombres ont le même signe, négatif s'ils ont des signes contraires.

Sous forme de tableau : (+) × (+) = + ; (−) × (−) = + ; (+) × (−) = − ; (−) × (+) = −, et de manière identique pour ÷. Pour un produit de PLUSIEURS facteurs, on n'a pas besoin d'appliquer la règle deux par deux : il suffit de compter le nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, le produit est positif ; s'il est impair, le produit est négatif.

On comprend pourquoi : chaque paire de facteurs négatifs se « compense » et redonne un signe positif ((−) × (−) = +) ; s'il reste un facteur négatif isolé (nombre impair), il impose le signe négatif au résultat. Exemple de référence : (−2) × (−3) × (−1). On compte trois facteurs négatifs ; trois est impair, donc le résultat est négatif.

On calcule les distances : 2 × 3 × 1 = 6, d'où (−2) × (−3) × (−1) = −6. Autre exemple : (−2) × (−3) compte deux facteurs négatifs (pair), donc le résultat est positif : +6. Attention, seuls les facteurs NÉGATIFS comptent pour le signe : dans (−2) × 3 × (−4), il y a deux facteurs négatifs (pair), donc le résultat est positif, même s'il y a trois facteurs en tout. Les facteurs positifs ne changent jamais le signe. La méthode générale pour un produit de plusieurs relatifs tient donc en deux étapes : d'abord déterminer le signe en comptant les facteurs négatifs (pair → + ; impair → −), puis calculer le produit des distances.

Cette règle est indispensable pour les puissances d'un relatif et pour tout le calcul littéral.

Les erreurs fréquentes

On croit que trois nombres négatifs multipliés donnent un résultat positif, comme pour deux négatifs : (−2) × (−3) × (−1) = +6.

On compte les facteurs négatifs : ici il y en a trois, c'est impair, donc le résultat est négatif : (−2) × (−3) × (−1) = −6. Seul un nombre PAIR de facteurs négatifs donne un résultat positif.

On pense que le signe dépend du nombre TOTAL de facteurs, et non du nombre de facteurs négatifs.

Seuls les facteurs négatifs comptent pour le signe. Dans (−2) × 3 × (−4) il y a deux facteurs négatifs (pair), donc le résultat est positif, même s'il y a trois facteurs en tout ; les facteurs positifs n'influencent jamais le signe.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la règle des signes : deux signes identiques donnent +, deux signes contraires donnent −, pour un produit comme pour un quotient.
• Déterminer le signe d'un produit de plusieurs facteurs en comptant les facteurs négatifs : pair → +, impair → −.
• Justifier que (−2) × (−3) × (−1) = −6 en s'appuyant sur le nombre de facteurs négatifs.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−5) × (−2) × (−3) ?

   Réponse −30

   Trois facteurs négatifs, c'est un nombre IMPAIR de signes « − » : le produit est négatif. Ensuite 5 × 2 × 3 = 30, donc (−5) × (−2) × (−3) = −30. Croire que trois « − » donnent « + » mène à +30, et oublier le troisième facteur laisserait 10.

2. Un produit de 4 facteurs négatifs est :

   Réponse positif

   On compte les facteurs négatifs : 4 est un nombre pair, donc le résultat est positif.

3. Cinq nombres négatifs sont multipliés entre eux. Le résultat est :

   Réponse négatif

   On compte les facteurs négatifs : il y en a cinq, un nombre impair, donc le produit est négatif. Avec un nombre pair de facteurs négatifs, le produit serait positif.