Enchaîner les opérations sur les relatifs

En une phrase

Quand une expression mélange +, −, × et ÷ avec des relatifs, tu ne calcules pas de gauche à droite au hasard : tu fais d'abord les × et les ÷, ensuite les + et les −. À chaque étape, tu appliques la règle des signes. Par exemple, dans −3 + (−4) × (−2), tu calcules d'abord (−4) × (−2) = +8, puis −3 + 8 = 5.

Comprendre

Une expression qui mélange plusieurs opérations sur des nombres relatifs se calcule en respectant l'ordre des priorités, exactement comme avec les nombres positifs : on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis seulement ensuite les additions et les soustractions. La nouveauté avec les relatifs, c'est qu'à CHAQUE étape il faut appliquer la règle des signes pour ne pas perdre un signe en route. Prenons −3 + (−4) × (−2).

La multiplication est prioritaire : on calcule d'abord (−4) × (−2). Deux signes identiques donnent + et 4 × 2 = 8, donc (−4) × (−2) = +8. L'expression devient −3 + 8, une simple addition qui donne +5. Autre exemple avec une division : −10 ÷ (−2) − 3. La division passe avant la soustraction : (−10) ÷ (−2) donne +5 (signes identiques), donc l'expression devient 5 − 3 = 2. Deux erreurs guettent. La première est de calculer de gauche à droite en oubliant les priorités : dans −3 + (−4) × (−2), commencer par −3 + (−4) = −7 puis −7 × (−2) = +14 est FAUX, car la multiplication devait être faite en premier.

La seconde est de perdre un signe en cours de route, par exemple d'écrire (−4) × (−2) = −8 au lieu de +8. En respectant les priorités et en appliquant la règle des signes à chaque calcul intermédiaire, on obtient toujours le bon résultat.

Le cours

Calculer une expression qui enchaîne plusieurs opérations sur des nombres relatifs demande de combiner deux savoir-faire : les priorités opératoires et la règle des signes. Les priorités opératoires fixent l'ordre des calculs : on effectue d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et les soustractions (de gauche à droite). L'essentiel à retenir en 4e est que la multiplication et la division passent AVANT l'addition et la soustraction.

La règle des signes, elle, intervient à chaque étape de calcul faisant intervenir des relatifs. Premier exemple : −3 + (−4) × (−2). La multiplication est prioritaire, on la traite d'abord : (−4) × (−2), deux signes identiques donnent +, et 4 × 2 = 8, donc (−4) × (−2) = +8. L'expression se réduit alors à −3 + 8, dont le résultat est +5. Deuxième exemple avec une division : −10 ÷ (−2) − 3. La division est prioritaire sur la soustraction : (−10) ÷ (−2), deux signes identiques donnent +, et 10 ÷ 2 = 5, donc le quotient vaut +5. L'expression devient 5 − 3, qui vaut 2. Deux erreurs sont particulièrement fréquentes.

La première consiste à calculer de gauche à droite sans respecter les priorités : dans −3 + (−4) × (−2), faire −3 + (−4) = −7 puis −7 × (−2) = +14 donne un résultat faux, car la multiplication aurait dû être effectuée avant l'addition. La seconde consiste à perdre un signe dans un calcul intermédiaire, par exemple écrire (−4) × (−2) = −8 au lieu de +8. La méthode sûre tient donc en une phrase : repérer l'opération prioritaire, la calculer en appliquant la règle des signes, réécrire l'expression simplifiée, et recommencer jusqu'au résultat. Cette démarche prépare directement au calcul littéral et à la substitution de valeurs négatives dans une expression.

Les erreurs fréquentes

On calcule de gauche à droite sans respecter les priorités : −3 + (−4) × (−2) traité comme (−3 + (−4)) × (−2) = (−7) × (−2) = +14.

La multiplication est prioritaire : on calcule d'abord (−4) × (−2) = +8, puis −3 + 8 = 5. Le résultat correct est 5, pas 14.

On perd un signe dans un calcul intermédiaire : (−4) × (−2) = −8.

Deux signes identiques donnent + : (−4) × (−2) = +8. Il faut appliquer la règle des signes à chaque étape pour ne pas se tromper de signe.

Tu maîtrises la notion si…

• Respecter les priorités opératoires : effectuer les multiplications et divisions avant les additions et soustractions.
• Appliquer la règle des signes à chaque étape d'un calcul enchaîné sur les relatifs.
• Calculer −3 + (−4) × (−2) = 5 et −10 ÷ (−2) − 3 = 2 en détaillant les étapes.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut −3 + (−4) × (−2) ?

   Réponse 5

   La multiplication d'abord : (−4) × (−2) = +8 ; puis −3 + 8 = 5. La valeur 14 vient d'un calcul de gauche à droite, qui ne respecte pas les priorités.

2. Combien vaut −10 ÷ (−2) − 3 ?

   Réponse 2

   La division d'abord : −10 ÷ (−2) = +5 (signes identiques) ; puis 5 − 3 = 2.

3. Dans le calcul 5 − 3 × (−2), par quelle opération faut-il commencer ?

   Réponse par le produit 3 × (−2)

   La multiplication est prioritaire sur la soustraction : 3 × (−2) = −6, puis 5 − (−6) = 5 + 6 = 11. Commencer par 5 − 3 = 2 donnerait 2 × (−2) = −4, un résultat faux.