Les puissances d'un nombre relatif

En une phrase

Élever un relatif à une puissance, c'est le multiplier plusieurs fois par lui-même. Si l'exposant est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, il est négatif. Et surtout : (−2)² veut dire (−2) × (−2) = +4, mais −2² veut dire l'opposé de 2², donc −4. Les parenthèses changent tout !

Comprendre

Une puissance d'un nombre relatif fonctionne comme n'importe quelle puissance : (−2)³ signifie que l'on multiplie trois fois le facteur (−2), c'est-à-dire (−2) × (−2) × (−2). Pour trouver le SIGNE du résultat, on retrouve la règle des signes appliquée à plusieurs facteurs : l'exposant indique le nombre de facteurs négatifs. Si l'exposant est PAIR, il y a un nombre pair de facteurs négatifs, donc le résultat est positif ; s'il est IMPAIR, le résultat est négatif.

Ainsi (−2)³ compte trois facteurs négatifs (impair) : le résultat est négatif, et comme 2 × 2 × 2 = 8, on a (−2)³ = −8. De même (−2)⁴ compte quatre facteurs négatifs (pair) : le résultat est positif, et 2⁴ = 16, donc (−2)⁴ = +16. Vient alors LE piège le plus courant du chapitre : il faut distinguer (−2)² et −2². Dans (−2)², les parenthèses indiquent que c'est le nombre −2 tout entier qui est élevé au carré : (−2)² = (−2) × (−2) = +4. Dans −2², il n'y a pas de parenthèses : seul le nombre 2 est élevé au carré, et le signe − reste devant. Cela signifie l'opposé de 2², c'est-à-dire −2² = −(2 × 2) = −4. Une seule différence de parenthèses, deux résultats opposés : +4 et −4. Retiens donc de toujours regarder si le signe − est à l'intérieur des parenthèses (il est alors élevé à la puissance) ou à l'extérieur (il reste devant, et le résultat est l'opposé).

Le cours

Élever un nombre relatif à une puissance entière, c'est le multiplier plusieurs fois par lui-même : (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2), l'exposant 3 indiquant le nombre de facteurs. Pour déterminer le SIGNE du résultat, on utilise la règle des signes pour un produit de plusieurs facteurs : puisque tous les facteurs valent (−2), l'exposant donne directement le nombre de facteurs négatifs. On en déduit une règle simple : lorsque a est un nombre positif, (−a)ⁿ est positif si l'exposant n est pair, et négatif si n est impair.

Exemples de référence : (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) : trois facteurs négatifs (impair), donc résultat négatif, et 2 × 2 × 2 = 8, d'où (−2)³ = −8. Puis (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) : quatre facteurs négatifs (pair), donc résultat positif, et 2⁴ = 16, d'où (−2)⁴ = +16. Le point le plus délicat du chapitre est la distinction entre (−2)² et −2², qui n'ont pas la même valeur. Dans (−2)², les parenthèses signifient que le nombre −2 tout entier, signe compris, est élevé au carré : (−2)² = (−2) × (−2) = +4. Dans −2², il n'y a pas de parenthèses : la convention de calcul veut que la puissance s'applique seulement au nombre 2, et le signe − reste placé devant. On calcule donc d'abord 2² = 4, puis on prend l'opposé : −2² = −(2 × 2) = −4. Les deux résultats sont opposés : +4 pour (−2)², −4 pour −2².

La règle à retenir est simple : si le signe − est à l'intérieur des parenthèses, il est élevé à la puissance ; s'il est à l'extérieur, il reste devant et le résultat est l'opposé de la puissance. Cette distinction est essentielle pour éviter des erreurs de signe en calcul littéral et lors de la substitution de valeurs négatives dans une expression.

Les erreurs fréquentes

On écrit (−2)² = −4, en pensant que le carré garde le signe négatif.

Dans (−2)², le nombre −2 tout entier est élevé au carré : (−2)² = (−2) × (−2) = +4. L'exposant 2 est pair, donc le résultat est positif.

On confond (−2)² et −2² et on leur donne le même résultat.

Ce sont deux calculs différents : (−2)² = (−2) × (−2) = +4 (le − est dans les parenthèses, donc élevé au carré), tandis que −2² = −(2 × 2) = −4 (le − reste devant, seul 2 est au carré).

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire une puissance d'un nombre relatif comme un produit de facteurs égaux, par exemple (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2).
• Déterminer le signe de (−a)ⁿ selon la parité de l'exposant : pair → positif, impair → négatif.
• Distinguer (−2)² = +4 de −2² = −4 en repérant la position des parenthèses.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut (−2)³ ?

   Réponse −8

   (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) : exposant impair → résultat négatif ; 2³ = 8, donc (−2)³ = −8.

2. Que vaut −2² (sans parenthèses autour de −2) ?

   Réponse −4

   Sans parenthèses, seul 2 est élevé au carré : −2² = −(2²) = −4. À ne pas confondre avec (−2)² = +4.

3. Que vaut (−1)⁷ ?

   Réponse −1

   (−1)⁷ est le produit de sept facteurs égaux à −1. L'exposant 7 est impair, donc le résultat est négatif ; comme 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1, on obtient −1. Avec un exposant pair, par exemple (−1)⁸, le résultat serait +1.