Les priorités opératoires

En une phrase

Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations, tu ne vas pas simplement de gauche à droite : tu effectues d'abord les × et les ÷, puis les + et les −. Quand deux opérations ont la même priorité, tu les fais dans l'ordre, de gauche à droite.

Comprendre

Quand un calcul mélange plusieurs opérations, l'ordre dans lequel tu calcules change le résultat. Pour que tout le monde trouve la même réponse, on suit toujours les mêmes règles : les priorités opératoires. Sans parenthèses, il y a deux niveaux.

Niveau 1 : les MULTIPLICATIONS et les DIVISIONS, qui se calculent en premier, de gauche à droite. Niveau 2 : les ADDITIONS et les SOUSTRACTIONS, qui se calculent ensuite, aussi de gauche à droite. Prends l'exemple 3 + 4 × 5. La multiplication passe avant l'addition : tu calcules d'abord 4 × 5 = 20, puis 3 + 20 = 23. Le résultat est 23, et surtout PAS 35 : 35, ce serait calculer 3 + 4 d'abord, c'est-à-dire de gauche à droite sans respecter la priorité de la multiplication.

Attention aussi quand il n'y a que des + et des − : ils ont la même priorité, donc on va simplement de gauche à droite. Par exemple 12 − 5 + 3 se calcule 12 − 5 = 7, puis 7 + 3 = 10 ; il ne faut PAS additionner 5 + 3 d'abord (ce qui donnerait 4, faux). La multiplication et la division ont, entre elles, la même priorité ; l'addition et la soustraction aussi.

Retiens l'idée d'une échelle : d'abord les × et ÷, ensuite les + et −. Un troisième barreau s'ajoute cette année avec le chapitre « Puissances » : les puissances se calculent juste après les parenthèses, donc AVANT les × et les ÷. C'est une règle qui te suivra toute ta scolarité, jusqu'au calcul littéral.

Le cours

Une expression numérique peut contenir plusieurs opérations différentes. Pour la calculer, on ne lit pas simplement de gauche à droite : on respecte les priorités opératoires, c'est-à-dire un ordre fixé une fois pour toutes. Lorsqu'il n'y a pas de parenthèses, cet ordre comporte deux niveaux.

Niveau 1 : on effectue d'abord les multiplications et les divisions, en allant de gauche à droite. Niveau 2 : on termine par les additions et les soustractions, également de gauche à droite. La multiplication et la division ont donc la même priorité entre elles, tout comme l'addition et la soustraction ; ce qui les départage, c'est l'ordre d'écriture, de la gauche vers la droite.

Exemple : pour 3 + 4 × 5, on calcule d'abord 4 × 5 = 20 (la multiplication est prioritaire sur l'addition), puis 3 + 20 = 23. Écrire 3 + 4 × 5 = 35 est une erreur : cela reviendrait à faire 3 + 4 avant la multiplication. De même, dans une suite d'additions et de soustractions comme 12 − 5 + 3, on va de gauche à droite : 12 − 5 = 7, puis 7 + 3 = 10, et non 12 − (5 + 3) = 4. Bien appliquer les priorités opératoires est indispensable pour obtenir le bon résultat et, plus tard, pour comprendre le calcul avec des lettres. Les parenthèses, étudiées ensuite, permettent de forcer un calcul à se faire avant tous les autres.

Un niveau supplémentaire apparaît la même année dans le chapitre « Puissances » : une puissance se calcule après les parenthèses mais avant les multiplications et les divisions.

Les erreurs fréquentes

On calcule toujours de gauche à droite, donc 3 + 4 × 5 = 7 × 5 = 35.

La multiplication est prioritaire sur l'addition : on fait 4 × 5 = 20 d'abord, puis 3 + 20 = 23. Le résultat est 23, pas 35.

On croit que l'addition passe avant la soustraction, donc 12 − 5 + 3 = 12 − 8 = 4.

L'addition et la soustraction ont la même priorité : on calcule de gauche à droite, 12 − 5 = 7 puis 7 + 3 = 10.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que les × et ÷ se calculent avant les + et −, et qu'à priorité égale on va de gauche à droite.
• Calculer une expression comme 3 + 4 × 5 en effectuant la multiplication avant l'addition (= 23).
• Effectuer une suite d'additions et de soustractions de gauche à droite, comme 12 − 5 + 3 = 10.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 3 + 4 × 5 ?

   Réponse 23

   La multiplication est prioritaire : 4 × 5 = 20, puis 3 + 20 = 23 (et non (3 + 4) × 5 = 35).

2. Combien font 12 − 5 + 3 ?

   Réponse 10

   L'addition et la soustraction ont la même priorité : de gauche à droite, 12 − 5 = 7 puis 7 + 3 = 10 (et non 12 − 8 = 4).

3. Un cahier coûte 4 € et un stylo 2 €. Quel est le prix de 3 cahiers et 1 stylo ?

   Réponse 14 €

   Les 3 cahiers coûtent 3 × 4 = 12 €, puis on ajoute le stylo : 12 + 2 = 14 €. La multiplication passe avant l'addition ; 3 × (4 + 2) = 18 € reviendrait à acheter un stylo par cahier.