Calculer avec des parenthèses

En une phrase

Quand un calcul contient des parenthèses, tu calcules d'abord ce qui est à l'intérieur, avant tout le reste. Les parenthèses servent justement à changer l'ordre habituel des priorités.

Comprendre

Les parenthèses sont la priorité la plus forte : on calcule toujours leur contenu en premier, avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions. Elles servent à forcer un calcul à se faire avant les autres. Compare (3 + 4) × 5 et 3 + 4 × 5. Dans 3 + 4 × 5, il n'y a pas de parenthèses : la multiplication passe avant, 4 × 5 = 20, puis 3 + 20 = 23. Dans (3 + 4) × 5, la parenthèse impose de calculer 3 + 4 = 7 d'abord, puis 7 × 5 = 35. Les deux expressions n'ont donc pas le même résultat (23 et 35), uniquement à cause de la parenthèse : elle oblige l'addition à se faire avant la multiplication.

C'est exactement le rôle des parenthèses : quand on veut additionner (ou soustraire) avant de multiplier (ou diviser), on entoure le calcul de parenthèses. À l'intérieur d'une parenthèse, on applique de nouveau les priorités habituelles (× et ÷ avant + et −). Une fois la parenthèse remplacée par son résultat, on poursuit le calcul normalement.

Le cours

Les parenthèses occupent le premier niveau de priorité : leur contenu se calcule avant toute autre opération. Elles permettent de modifier l'ordre naturel des priorités opératoires. Prenons (3 + 4) × 5. La présence de la parenthèse impose de commencer par elle : 3 + 4 = 7, puis on multiplie, 7 × 5 = 35. Sans la parenthèse, 3 + 4 × 5, la multiplication serait prioritaire : 4 × 5 = 20 puis 3 + 20 = 23. C'est pourquoi (3 + 4) × 5 = 35 et 3 + 4 × 5 = 23 : la parenthèse change le résultat en forçant l'addition à se faire d'abord.

À l'intérieur des parenthèses, on applique de nouveau les priorités habituelles : par exemple dans (2 + 3 × 4), on calcule 3 × 4 = 12 puis 2 + 12 = 14 avant de sortir de la parenthèse. Une fois le contenu d'une parenthèse calculé, on remplace la parenthèse par son résultat et on continue. Les parenthèses sont donc un outil essentiel : elles rendent un calcul non ambigu et permettent d'écrire exactement l'ordre voulu.

Elles préparent aussi le calcul littéral, où l'on manipulera des expressions comme k × (a + b).

Les erreurs fréquentes

On ignore la parenthèse et on applique les priorités habituelles : (3 + 4) × 5 = 3 + 4 × 5 = 23.

La parenthèse se calcule en premier : 3 + 4 = 7, puis 7 × 5 = 35. Le résultat est 35, pas 23.

On multiplie un seul terme de la parenthèse : (3 + 4) × 5 = 3 + 4 × 5 = 3 + 20.

On calcule d'abord toute la parenthèse : 3 + 4 = 7, puis 7 × 5 = 35.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que le contenu des parenthèses se calcule en tout premier.
• Calculer (3 + 4) × 5 en faisant 3 + 4 = 7 d'abord, puis 7 × 5 = 35.
• Expliquer pourquoi (3 + 4) × 5 et 3 + 4 × 5 n'ont pas le même résultat.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (6 + 9) × 4 ?

   Réponse 60

   La parenthèse se calcule en premier : 6 + 9 = 15, puis 15 × 4 = 60. Sans les parenthèses, 6 + 9 × 4 vaudrait 6 + 36 = 42 : ce sont bien les parenthèses qui changent l'ordre des opérations. Tout additionner donnerait 19, et s'arrêter à la parenthèse donnerait 15.

2. Combien font (10 − 2) × 3 ?

   Réponse 24

   La parenthèse d'abord : 10 − 2 = 8, puis 8 × 3 = 24 (et non 10 − 2 × 3 = 4).

3. Quel est le résultat de (12 − 4) ÷ 2 ?

   Réponse 4

   La parenthèse se calcule en premier : 12 − 4 = 8, puis 8 ÷ 2 = 4. Sans la parenthèse, la division passerait d'abord et 12 − 4 ÷ 2 = 10.