Enchaîner plusieurs opérations

En une phrase

Quand un calcul mélange tout à la fois, tu suis l'ordre complet : d'abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les × et ÷, et pour finir les + et −. À chaque niveau, tu vas de gauche à droite.

Comprendre

Ce concept réunit tout ce qui précède : dans une expression à plusieurs opérations, on applique l'ordre complet des priorités. D'abord les parenthèses (leur contenu se calcule en premier), puis les puissances (étudiées cette année dans le chapitre « Puissances »), ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Prends l'exemple 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2. Il n'y a pas de parenthèses ici, on commence donc par les × et ÷ : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3. L'expression devient 20 − 12 + 3. Il ne reste que des soustractions et additions : on les effectue de gauche à droite, 20 − 12 = 8, puis 8 + 3 = 11. Le résultat est 11. Deux pièges sont fréquents.

Le premier est de calculer de gauche à droite dès le début (20 − 3 = 17, etc.), ce qui ignore la priorité des × et ÷. Le second est, une fois arrivé à 20 − 12 + 3, d'additionner 12 + 3 avant de soustraire : comme + et − ont la même priorité, il faut aller de gauche à droite, donc 20 − 12 d'abord. Une bonne stratégie consiste à repérer et calculer toutes les multiplications et divisions en une fois (en les soulignant), à réécrire l'expression, puis à terminer les additions et soustractions de gauche à droite.

Le cours

Pour calculer une expression qui combine plusieurs types d'opérations, on applique l'ordre complet des priorités opératoires : 1) le contenu des parenthèses (en partant des plus intérieures) ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et les divisions, de gauche à droite ; 4) les additions et les soustractions, de gauche à droite. Les exemples de ce chapitre ne comportent pas de puissance : le niveau 2 y est simplement vide, et l'on passe directement des parenthèses aux × et ÷. Une méthode fiable est de traiter un niveau à la fois, en réécrivant l'expression après chaque niveau.

Exemple : 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2. Il n'y a pas de parenthèses. On calcule d'abord les produits et quotients : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3. On réécrit : 20 − 12 + 3. On termine par les additions et soustractions, de gauche à droite : 20 − 12 = 8, puis 8 + 3 = 11. Donc 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 = 11. Il faut se méfier de deux erreurs : calculer de gauche à droite sans respecter la priorité des × et ÷ ; et, dans une suite de + et −, additionner avant de soustraire alors que ces deux opérations ont la même priorité (on va de gauche à droite). En soulignant les multiplications et divisions avant de commencer, puis en réécrivant l'expression, on évite ces pièges.

Cette organisation prépare le calcul avec des lettres et les expressions plus complexes des classes suivantes.

Les erreurs fréquentes

On calcule tout de gauche à droite : 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 = 17 × 4 + 6 ÷ 2…

Les × et ÷ passent avant : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3, puis on termine 20 − 12 + 3 = 11.

Une fois à 20 − 12 + 3, on additionne 12 + 3 avant de soustraire : 20 − 15 = 5.

Addition et soustraction ont la même priorité : de gauche à droite, 20 − 12 = 8 puis 8 + 3 = 11.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'ordre complet : parenthèses, puis × et ÷, enfin + et −, de gauche à droite.
• Calculer 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 en traitant d'abord les × et ÷ (= 11).
• Terminer une suite d'additions et de soustractions de gauche à droite sans se tromper.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 ?

   Réponse 11

   Les × et ÷ d'abord : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3, puis 20 − 12 + 3 = 11 (de gauche à droite).

2. Combien font 5 + 2 × 6 − 8 ÷ 4 ?

   Réponse 15

   Les × et ÷ d'abord : 2 × 6 = 12 et 8 ÷ 4 = 2, puis 5 + 12 − 2 = 15.

3. Camille tape 100 ÷ 4 + 6 × 5 − 3 sur sa calculatrice, qui respecte les priorités. Quel nombre affiche-t-elle ?

   Réponse 52

   Les × et ÷ d'abord : 100 ÷ 4 = 25 et 6 × 5 = 30. Puis de gauche à droite : 25 + 30 = 55, et enfin 55 − 3 = 52. Oublier le − 3 donne 55, tout calculer dans l'ordre d'écriture donne 152.