Les parenthèses imbriquées

En une phrase

Des parenthèses peuvent en contenir d'autres. Tu commences toujours par la parenthèse la plus à l'intérieur, tu la remplaces par son résultat, puis tu continues avec la parenthèse suivante.

Comprendre

Une expression peut contenir des parenthèses à l'intérieur d'autres parenthèses : on dit qu'elles sont imbriquées (ou emboîtées). La règle est simple et se déduit de la précédente : puisque le contenu d'une parenthèse se calcule en premier, on commence par la parenthèse la plus INTÉRIEURE, celle qui ne contient aucune autre parenthèse. Une fois cette parenthèse remplacée par son résultat, on recommence avec la nouvelle parenthèse la plus intérieure, et ainsi de suite jusqu'à l'extérieur.

Prends l'exemple 2 × (8 − (1 + 2)). La parenthèse la plus intérieure est (1 + 2) : on la calcule, 1 + 2 = 3, et on remplace : 2 × (8 − 3). Il ne reste plus qu'une parenthèse : 8 − 3 = 5, ce qui donne 2 × 5 = 10. L'erreur classique est de vouloir calculer la parenthèse extérieure d'abord (par exemple faire 8 − 1 avant de calculer 1 + 2) : cela mélange les niveaux et donne un résultat faux.

Pour ne pas se tromper, on repère bien chaque parenthèse et on part toujours de celle qui est le plus à l'intérieur, comme des poupées russes que l'on ouvre de la plus petite à la plus grande.

Le cours

Des parenthèses sont dites imbriquées lorsqu'une parenthèse en contient une autre. Pour calculer une telle expression, on applique la règle des parenthèses de façon répétée : le contenu d'une parenthèse se calcule en premier, donc on commence par la parenthèse la plus intérieure, celle qui ne contient plus de parenthèse. On la remplace par sa valeur, puis on traite la parenthèse suivante, en remontant vers l'extérieur.

Exemple : 2 × (8 − (1 + 2)). La parenthèse la plus intérieure est (1 + 2) ; on calcule 1 + 2 = 3, ce qui donne 2 × (8 − 3). On calcule ensuite la parenthèse restante : 8 − 3 = 5, d'où 2 × 5 = 10. On écrit la suite des égalités : 2 × (8 − (1 + 2)) = 2 × (8 − 3) = 2 × 5 = 10. À chaque étape, à l'intérieur d'une parenthèse, on respecte aussi les priorités habituelles (× et ÷ avant + et −).

L'erreur fréquente consiste à calculer de l'extérieur vers l'intérieur : il faut faire l'inverse. Une bonne méthode consiste à souligner ou surligner la parenthèse la plus intérieure avant de commencer, pour être sûr de partir du bon endroit.

Les erreurs fréquentes

On calcule la parenthèse extérieure d'abord, par exemple 8 − 1 dans 2 × (8 − (1 + 2)).

On part de la parenthèse la plus intérieure : (1 + 2) = 3 d'abord, puis 8 − 3 = 5, puis 2 × 5 = 10.

On supprime une parenthèse et on calcule 2 × (8 − 1 + 2) = 2 × 9 = 18.

La parenthèse intérieure regroupe 1 + 2 : on doit calculer 1 + 2 = 3, puis 8 − 3 = 5, donc 2 × 5 = 10.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer la parenthèse la plus intérieure d'une expression imbriquée.
• Calculer 2 × (8 − (1 + 2)) en partant de (1 + 2) = 3, puis 8 − 3 = 5, puis 2 × 5 = 10.
• Écrire la suite des étapes en remplaçant chaque parenthèse par son résultat.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 2 × (8 − (1 + 2)) ?

   Réponse 10

   Parenthèses imbriquées, de la plus intérieure : 1 + 2 = 3, puis 8 − 3 = 5, puis 2 × 5 = 10.

2. Combien font 5 × (10 − (4 + 3)) ?

   Réponse 15

   De la plus intérieure : 4 + 3 = 7, puis 10 − 7 = 3, puis 5 × 3 = 15.

3. Dans 4 × (12 − (5 + 3)), quelle parenthèse doit-on calculer en premier ?

   Réponse la parenthèse intérieure (5 + 3)

   On part toujours de la parenthèse la plus intérieure : 5 + 3 = 8, puis 12 − 8 = 4, puis 4 × 4 = 16. Commencer par l'extérieure ou par la multiplication change le résultat.