Le volume d'une pyramide

L'essentiel

Pour calculer le volume d'une pyramide, tu calcules d'abord l'aire de sa base (B), tu la multiplies par la hauteur (h), puis tu prends le tiers du résultat. En formule : V = ⅓ × B × h. La hauteur, c'est la distance du sommet au plan de la base (pas la longueur d'une arête).

Exemple : une pyramide à base carrée de côté 6 a pour base B = 6 × 6 = 36 ; si sa hauteur est 10, alors V = ⅓ × 36 × 10 = ⅓ × 360 = 120. Astuce pour comprendre le tiers : une pyramide « remplit » exactement le tiers du prisme qui aurait la même base et la même hauteur — il en faudrait trois pour remplir ce prisme.

Comprendre

Le volume d'une pyramide se calcule avec la formule V = ⅓ × aire de la base × hauteur, souvent notée V = ⅓ × B × h, où B est l'aire de la base et h la hauteur (distance du sommet au plan de la base). La démarche comporte trois étapes : (1) calculer l'aire de la base B avec la formule adaptée au polygone (carré, rectangle, triangle…) ; (2) multiplier B par la hauteur h ; (3) prendre le TIERS du produit (diviser par 3). Exemple complet : pour une pyramide à base carrée de côté 6 et de hauteur 10, on a B = 6 × 6 = 36, puis V = ⅓ × 36 × 10 = ⅓ × 360 = 120 (en unités de volume).

Le facteur ⅓ est essentiel : le volume d'une pyramide est exactement le TIERS du volume du prisme (ici un pavé) qui aurait la même base et la même hauteur. Concrètement, il faudrait trois pyramides identiques pour remplir ce prisme. L'oubli du tiers est l'erreur la plus fréquente : sans lui, on trouverait 360 (le prisme) au lieu de 120. Enfin, il faut veiller aux unités : une aire en cm² multipliée par une longueur en cm donne un volume en cm³.

Le cours

Le volume d'une pyramide relie l'aire de sa base et sa hauteur. LA FORMULE. V = ⅓ × aire de la base × hauteur, ou V = ⅓ × B × h, où B désigne l'aire de la base et h la hauteur de la pyramide (distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement).

ÉTAPES DE CALCUL. (1) On calcule l'aire de la base B, en choisissant la formule adaptée à la forme de la base (carré : côté × côté ; rectangle : longueur × largeur ; triangle : base × hauteur ÷ 2…). (2) On multiplie cette aire par la hauteur h de la pyramide. (3) On prend le tiers du résultat (on divise par 3). EXEMPLE. Une pyramide a une base carrée de côté 6 et une hauteur de 10. Aire de la base : B = 6 × 6 = 36. Volume : V = ⅓ × 36 × 10 = ⅓ × 360 = 120 (unités de volume).

POURQUOI LE TIERS ? Le volume d'une pyramide est le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur. Autrement dit, si l'on remplissait de sable la pyramide puis le prisme correspondant, il faudrait vider trois pyramides pleines pour remplir le prisme.

C'est pourquoi la formule du prisme (B × h) est divisée par 3 pour la pyramide. ERREURS À ÉVITER : oublier le tiers (on obtiendrait 360, le prisme, au lieu de 120) ; confondre la hauteur de la pyramide avec la longueur d'une arête ; se tromper d'unité (le volume s'exprime en cm³, pas en cm²). À RETENIR : V = ⅓ × B × h ; c'est le tiers du prisme de même base et hauteur ; ex. base 36 et hauteur 10 → V = 120.

Les erreurs fréquentes

On oublie le tiers et on calcule V = aire de la base × hauteur (formule du prisme).

Le volume d'une pyramide est le TIERS de celui du prisme : V = ⅓ × B × h. Avec B = 36 et h = 10, on a V = ⅓ × 360 = 120, et non 360.

On utilise la longueur d'une arête latérale à la place de la hauteur, ou on exprime le résultat en cm².

La hauteur est la distance du sommet au plan de la base (perpendiculaire), pas une arête inclinée. Et un volume s'exprime en unité de volume (cm³), car aire (cm²) × longueur (cm) = cm³.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'une pyramide : V = ⅓ × aire de la base × hauteur.
• Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté 6 et de hauteur 10 (V = ⅓ × 36 × 10 = 120).
• Justifier que ce volume est le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle formule donne le volume d'une pyramide ?

   Réponse V = ⅓ × aire de la base × hauteur

   Le volume d'une pyramide est le tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur : V = ⅓ × aire de la base × hauteur. C'est le tiers du volume du prisme de même base et même hauteur.

2. Une pyramide a une base carrée de côté 6 et une hauteur de 10. Quel est son volume ?

   Réponse 120

   L'aire de la base est 6 × 6 = 36. Puis V = ⅓ × 36 × 10 = ⅓ × 360 = 120 (unités³). (360 serait le volume du prisme, on a oublié le tiers.)

3. Un presse-papiers en forme de pyramide a une base rectangulaire de 5 cm sur 4 cm et mesure 9 cm de haut. Quel est son volume ?

   Réponse 60 cm³

   On calcule d'abord l'aire de la base : 5 × 4 = 20 cm². Puis V = ⅓ × 20 × 9 = ⅓ × 180 = 60 cm³. Oublier le tiers donnerait 180 cm³, le volume du pavé de même base et de même hauteur ; et un volume s'exprime en cm³, jamais en cm².