Le cône de révolution

L'essentiel

Un cône de révolution, c'est le solide qu'on obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit (comme une toupie). Ce côté devient la hauteur du cône ; l'autre côté de l'angle droit balaie un disque : c'est la base du cône, de rayon r. Le troisième côté du triangle (l'hypoténuse) balaie la surface courbe et s'appelle la génératrice.

Le cône a un seul point pointu tout en haut : son sommet. La hauteur h est la distance du sommet au centre du disque de base. Son patron est surprenant : c'est un disque (la base) et un morceau de disque, un « secteur angulaire », qui se recourbe pour former la surface courbe.

Comprendre

Un cône de révolution est un solide de l'espace engendré par une ROTATION. On part d'un triangle rectangle et on le fait tourner d'un tour complet autour de l'un des côtés de son angle droit. Ce côté, fixe, devient la HAUTEUR h du cône.

L'autre côté de l'angle droit, en tournant, décrit un DISQUE : c'est la BASE du cône, dont le rayon r est justement la longueur de ce côté. L'hypoténuse du triangle décrit la surface courbe (surface latérale) et s'appelle la génératrice. Le cône possède un unique SOMMET, situé sur l'axe, à la verticale du centre du disque.

La hauteur h est la distance du sommet au CENTRE de la base, perpendiculaire au disque ; elle ne doit pas être confondue avec la génératrice, qui est inclinée et plus longue. Le PATRON d'un cône est composé de deux morceaux : le disque de base (rayon r) et un SECTEUR ANGULAIRE (un « camembert » découpé dans un disque) qui, une fois enroulé, redonne la surface latérale. Reconnaître le cône, ses éléments (disque de base, rayon, sommet, hauteur, génératrice) et son patron est l'objectif de cette leçon.

Le cours

Le cône de révolution est, avec la pyramide, un solide « pointu » du programme. GÉNÉRATION PAR ROTATION. On considère un triangle rectangle et on le fait tourner d'un tour complet autour d'un côté de son angle droit.

Le côté autour duquel on tourne reste fixe et donne la HAUTEUR du cône ; l'autre côté de l'angle droit engendre le DISQUE de base (son rayon r est la longueur de ce côté) ; l'hypoténuse engendre la surface latérale et porte le nom de génératrice. VOCABULAIRE. Un cône de révolution possède : une base qui est un DISQUE de rayon r ; un SOMMET (le point pointu, sur l'axe) ; une HAUTEUR h, distance du sommet au centre du disque, perpendiculaire à la base ; une génératrice, segment reliant le sommet à un point du bord du disque (l'hypoténuse du triangle générateur).

On prendra garde à ne pas confondre la hauteur (verticale, du sommet au centre) avec la génératrice (inclinée, du sommet au bord) : cette dernière est toujours plus longue. LE PATRON. Déplié à plat, un cône de révolution donne deux pièces : le disque de base (rayon r) et un SECTEUR ANGULAIRE découpé dans un disque plus grand (rayon = génératrice).

En enroulant ce secteur, on reforme la surface courbe et son bord se referme exactement sur le cercle de base. À RETENIR : (1) cône = rotation d'un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit ; (2) base = disque de rayon r, un sommet, hauteur h (du sommet au centre) ; (3) patron = un disque + un secteur angulaire.

Les erreurs fréquentes

On confond la hauteur du cône avec la génératrice (le côté incliné).

La hauteur h va du sommet au CENTRE du disque, perpendiculairement à la base. La génératrice va du sommet au BORD du disque : elle est inclinée, donc plus longue que la hauteur.

On croit que le patron d'un cône est un disque et un triangle, ou deux disques.

Le patron d'un cône est formé d'un disque (la base) et d'un SECTEUR ANGULAIRE (un morceau de disque) qui, enroulé, forme la surface courbe.

Tu maîtrises la notion si…

• Expliquer qu'un cône de révolution est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit.
• Nommer ses éléments : disque de base (rayon r), sommet, hauteur (du sommet au centre), génératrice.
• Reconnaître son patron : un disque et un secteur angulaire.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la base d'un cône de révolution ?

   Réponse Un disque

   La base d'un cône de révolution est un disque (de rayon r). Le cône a aussi un sommet et une hauteur (distance du sommet au centre de la base).

2. Comment obtient-on un cône de révolution ?

   Réponse En faisant tourner un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit

   Un cône de révolution est engendré par la rotation complète d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit : ce côté devient la hauteur, l'autre le rayon de la base.

3. Dans un cône de révolution, comment appelle-t-on le segment qui joint le sommet à un point du bord du disque de base ?

   Réponse la génératrice

   Le segment qui va du sommet au BORD du disque est la génératrice : c'est l'hypoténuse du triangle rectangle que l'on fait tourner. La hauteur, elle, joint le sommet au CENTRE du disque perpendiculairement, et elle est plus courte.