Le volume d'un cône de révolution

L'essentiel

Pour calculer le volume d'un cône, tu calcules d'abord l'aire de son disque de base, qui vaut π × r² (où r est le rayon), tu la multiplies par la hauteur h, puis tu prends le tiers du résultat. En formule : V = ⅓ × π × r² × h. Exemple : un cône de rayon r = 3 et de hauteur h = 10 a pour aire de base π × 3² = π × 9 ; son volume est V = ⅓ × π × 9 × 10 = ⅓ × 90π = 30π, soit environ 94,2 (avec π ≈ 3,14).

Comme pour la pyramide, il y a un tiers : le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre qui aurait le même disque de base et la même hauteur.

Comprendre

Le volume d'un cône de révolution se calcule avec la formule V = ⅓ × π × r² × hauteur, où r est le rayon du disque de base et la hauteur h est la distance du sommet au centre de ce disque. On reconnaît, entre le ⅓ et la hauteur, l'aire du disque de base : π × r². La démarche comporte trois étapes : (1) calculer l'aire du disque de base, B = π × r² ; (2) multiplier par la hauteur h ; (3) prendre le tiers (diviser par 3).

Exemple complet : pour un cône de rayon r = 3 et de hauteur h = 10, l'aire de la base est π × 3² = π × 9 = 9π ; le volume est V = ⅓ × 9π × 10 = ⅓ × 90π = 30π. En prenant π ≈ 3,14, on obtient V ≈ 30 × 3,14 ≈ 94,2 (en unités de volume). Comme pour la pyramide, le facteur ⅓ traduit un fait géométrique : le volume d'un cône est exactement le TIERS de celui du cylindre de même disque de base et de même hauteur ; il faudrait trois cônes pour remplir ce cylindre.

L'oubli du tiers reste l'erreur principale (on trouverait 90π, le cylindre). Enfin, on prend garde à élever le rayon au carré (r², et non r) et à utiliser la hauteur du cône, non la génératrice.

Le cours

Le volume d'un cône de révolution combine l'aire de son disque de base et sa hauteur. LA FORMULE. V = ⅓ × π × r² × hauteur, où r est le rayon du disque de base et h la hauteur (du sommet au centre de la base).

Le morceau π × r² est l'aire du disque de base. ÉTAPES DE CALCUL. (1) On calcule l'aire du disque de base : B = π × r² (attention : le rayon est élevé au carré). (2) On multiplie par la hauteur h. (3) On prend le tiers du résultat (division par 3). EXEMPLE.

Un cône a un rayon r = 3 et une hauteur h = 10. Aire du disque : π × 3² = π × 9 = 9π. Volume : V = ⅓ × 9π × 10 = ⅓ × 90π = 30π ≈ 94,2 (avec π ≈ 3,14). On peut laisser le résultat sous la forme exacte 30π, ou en donner une valeur approchée.

POURQUOI LE TIERS ? Le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur : trois cônes pleins rempliraient exactement le cylindre correspondant. C'est le même « ⅓ » que pour la pyramide (solide pointu vs solide droit).

ERREURS À ÉVITER : oublier le tiers (on obtiendrait 90π, le cylindre) ; oublier d'élever le rayon au carré (utiliser r au lieu de r²) ; utiliser la génératrice au lieu de la hauteur. À RETENIR : V = ⅓ × π × r² × h ; c'est le tiers du cylindre de même base et hauteur ; ex. r = 3 et h = 10 → V = 30π ≈ 94,2.

Les erreurs fréquentes

On oublie le tiers et on calcule V = π × r² × hauteur (formule du cylindre).

Le volume d'un cône est le TIERS de celui du cylindre : V = ⅓ × π × r² × h. Avec r = 3 et h = 10, V = ⅓ × 90π = 30π ≈ 94,2, et non 90π.

On oublie d'élever le rayon au carré (on écrit π × r × h au lieu de π × r² × h).

L'aire du disque de base est π × r² : le rayon est au carré. Pour r = 3, on calcule π × 3² = 9π, pas π × 3 = 3π.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'un cône : V = ⅓ × π × r² × hauteur.
• Calculer le volume d'un cône de rayon 3 et de hauteur 10 (V = ⅓ × π × 9 × 10 = 30π ≈ 94,2).
• Justifier que ce volume est le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle formule donne le volume d'un cône de révolution ?

   Réponse V = ⅓ × π × r² × hauteur

   Le volume d'un cône est le tiers de l'aire de son disque de base (π × r²) multipliée par sa hauteur : V = ⅓ × π × r² × hauteur. C'est le tiers du cylindre de même base et même hauteur.

2. Un cône a un rayon r = 3 et une hauteur h = 10. Quel est son volume (avec π) ?

   Réponse 30π

   V = ⅓ × π × r² × h = ⅓ × π × 3² × 10 = ⅓ × π × 9 × 10 = ⅓ × 90π = 30π ≈ 94,2 (unités³). (90π serait le cylindre, on a oublié le tiers.)

3. Quel est le volume exact d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 5 cm ?

   Réponse 60π cm³

   L'aire du disque de base vaut π × 6² = 36π cm². Le volume est donc V = ⅓ × 36π × 5 = ⅓ × 180π = 60π cm³, soit environ 188,5 cm³ avec la touche π de la calculatrice (60 × 3,14 donnerait 188,4). Oublier le tiers donnerait 180π, et oublier le carré du rayon 10π.