Conversions d'unités de volume et problèmes

L'essentiel

Un volume peut s'exprimer en unités de volume (m³, dm³, cm³…) ou en unités de capacité (litres, millilitres…). Les correspondances à connaître : 1 dm³ = 1 L (un litre) ; 1 m³ = 1000 L ; 1 cm³ = 1 mL. Quand on descend d'une unité de volume à la suivante (du m³ au dm³, puis du dm³ au cm³), on multiplie par 1000 à chaque fois.

Exemple utile : un cône a un volume de 2 000 cm³. Comme 1 cm³ = 1 mL, cela fait 2 000 mL ; et comme 1 L = 1 000 mL, on obtient 2 L. Autrement dit, 2 000 cm³ = 2 dm³ = 2 L.

Comprendre

Un volume peut être mesuré en unités de VOLUME (mètre cube m³, décimètre cube dm³, centimètre cube cm³, millimètre cube mm³) ou en unités de CAPACITÉ (litre L, millilitre mL…). Les deux systèmes sont reliés par des égalités clés : 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1000 L ; 1 cm³ = 1 mL. La règle de conversion des unités de volume : chaque « marche » d'une unité à la suivante correspond à un facteur 1000 (et non 10 comme pour les longueurs).

Ainsi 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³. Pour convertir, on multiplie par 1000 quand on passe à une unité plus petite (m³ → dm³ → cm³) et on divise par 1000 dans l'autre sens. Le lien avec les litres est très utile dans les problèmes : 1 dm³ = 1 L, donc 1 m³ = 1000 L, et 1 cm³ = 1 mL.

EXEMPLE COMPLET. Un cône a un volume de 2 000 cm³. Combien de litres contient-il ?

Comme 1 cm³ = 1 mL, on a 2 000 cm³ = 2 000 mL ; et comme 1 L = 1 000 mL, cela fait 2 L. On peut aussi raisonner ainsi : 2 000 cm³ = 2 dm³ (car 1 dm³ = 1 000 cm³), et 1 dm³ = 1 L, donc 2 dm³ = 2 L. Ces conversions permettent de donner un résultat de volume dans l'unité demandée par un problème concret (litres d'eau, contenance d'un récipient, etc.).

Le cours

Savoir convertir des volumes est indispensable pour résoudre les problèmes concrets (contenance, capacité). LES ÉGALITÉS CLÉS. Entre unités de capacité et de volume : 1 dm³ = 1 L (un litre) ; 1 m³ = 1000 L ; 1 cm³ = 1 mL.

Entre unités de volume : chaque changement d'unité correspond à un facteur 1000 : 1 m³ = 1000 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³, donc 1 m³ = 1 000 000 cm³. (Pour les volumes, on multiplie par 1000 à chaque marche, alors que pour les longueurs on multiplie par 10 : c'est parce que le volume met en jeu trois dimensions, 10 × 10 × 10 = 1000.) SENS DE LA CONVERSION. Vers une unité plus PETITE (du m³ vers le cm³) : on MULTIPLIE par 1000 à chaque marche.

Vers une unité plus GRANDE : on DIVISE par 1000. EXEMPLE. Un cône a un volume de 2 000 cm³ ; combien de litres cela fait-il ? Méthode 1 : 1 cm³ = 1 mL, donc 2 000 cm³ = 2 000 mL = 2 L (car 1 L = 1 000 mL).

Méthode 2 : 2 000 cm³ = 2 dm³ (on divise par 1000), et 1 dm³ = 1 L, donc 2 L. AUTRE EXEMPLE. Une pyramide de volume 3 dm³ contient 3 L. Un réservoir de 1,5 m³ contient 1 500 L. À RETENIR : (1) 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1000 L, 1 cm³ = 1 mL ; (2) une marche entre unités de volume = facteur 1000 ; (3) pour un problème, on convertit le volume calculé dans l'unité de capacité demandée (souvent le litre).

Les erreurs fréquentes

On convertit les volumes comme des longueurs, en multipliant par 10 au lieu de 1000 entre deux unités.

Pour un volume, chaque marche vaut un facteur 1000 (car 10 × 10 × 10 = 1000). Ainsi 1 dm³ = 1000 cm³, pas 10 cm³.

On confond litre et décimètre cube, ou on écrit 1 cm³ = 1 L.

1 dm³ = 1 L et 1 cm³ = 1 mL. Un centimètre cube vaut un millilitre, soit un millième de litre (1 cm³ = 0,001 L).

Tu maîtrises la notion si…

• Connaître les égalités 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1000 L, 1 cm³ = 1 mL.
• Convertir un volume d'une unité à une autre en utilisant le facteur 1000 par marche.
• Exprimer en litres le volume d'un cône ou d'une pyramide (ex. 2 000 cm³ = 2 L).

Vérifie que tu as compris

1. À combien de litres correspond 1 dm³ ?

   Réponse 1 L

   Par définition, 1 dm³ = 1 L. On a aussi 1 m³ = 1000 L et 1 cm³ = 1 mL (car 1 L = 1000 mL = 1000 cm³).

2. Un cône a un volume de 2 000 cm³. Combien de litres contient-il ?

   Réponse 2 L

   1 cm³ = 1 mL, donc 2 000 cm³ = 2 000 mL. Comme 1 L = 1 000 mL, 2 000 mL = 2 L. (Autrement : 2 000 cm³ = 2 dm³ = 2 L.)

3. Combien de centimètres cubes contient 1 dm³ ?

   Réponse 1 000 cm³

   Pour les volumes, chaque marche vaut un facteur 1 000, et non 10 comme pour les longueurs, car 10 × 10 × 10 = 1 000 : 1 dm³ = 1 000 cm³. C'est cohérent avec 1 dm³ = 1 L et 1 cm³ = 1 mL, puisque 1 L = 1 000 mL.