Le sens d'un nombre relatif

L'essentiel

Un nombre relatif, c'est un nombre avec un signe. Le + veut dire « au-dessus de 0 » (une chaleur au-dessus de zéro, un compte avec de l'argent) ; le − veut dire « en dessous de 0 » (un froid sous zéro, une dette, un sous-sol). Le 0 est le point de repère : c'est le seul nombre à la fois positif et négatif ; pour l'exclure, on dit « strictement » (strictement positif, strictement négatif).

Comprendre

Beaucoup de situations ont un « zéro » naturel, et on peut se trouver d'un côté ou de l'autre. Un nombre relatif sert justement à coder ce côté : le signe + pour « au-dessus / en plus », le signe − pour « en dessous / en moins ». La température en est l'exemple le plus parlant : le 0 °C, c'est la glace ; +3 °C, c'est 3 degrés au-dessus de zéro ; −5 °C, c'est 5 degrés en dessous de zéro.

L'altitude fonctionne pareil, avec le niveau de la mer comme 0 : un sommet à +2800 m est au-dessus, un plongeur à −20 m est en dessous. Sur un compte en banque, le 0 c'est « compte vide » : +50 € est un avoir, −30 € est une dette. Dans un immeuble, le 0 c'est le rez-de-chaussée : +2 est le 2ᵉ étage, −1 est le sous-sol.

À chaque fois, deux informations : le SIGNE dit de quel côté du 0 on est, et le NOMBRE dit à quelle distance. Attention à ne pas confondre le signe − d'un nombre négatif avec l'opération soustraction : dans −5 °C, le − ne dit pas « enlève 5 », il dit « 5 en dessous de zéro ». Enfin, le 0 est particulier : c'est le seul nombre à la fois positif ET négatif, et c'est la référence qui sépare les deux camps.

Pour l'exclure, on ajoute le mot « strictement » : les nombres strictement positifs sont ceux qui sont plus grands que 0, les nombres strictement négatifs ceux qui sont plus petits que 0 — et 0 n'est ni strictement positif ni strictement négatif.

Le cours

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe, + ou −, qui repère une position par rapport à un zéro de référence choisi selon la situation. Les nombres positifs (signe +) se trouvent « au-dessus » ou « après » ce zéro ; les nombres négatifs (signe −) se trouvent « en dessous » ou « avant ». Le nombre lui-même (sans le signe) indique la distance au zéro.

Ainsi, pour la température, le zéro est 0 °C : +3 °C signifie 3 degrés au-dessus de zéro, et −5 °C signifie 5 degrés en dessous. Pour l'altitude, le zéro est le niveau de la mer : +2800 m est un sommet, −20 m est sous le niveau de la mer. Pour un compte bancaire, le zéro est le compte vide : +50 € est un avoir, −30 € est une dette.

Le signe d'un nombre négatif n'est pas une soustraction : écrire −5 ne veut pas dire « enlever 5 », mais désigner un nombre situé 5 unités en dessous de 0. Le zéro, enfin, est le seul nombre à la fois positif et négatif : il n'est ni strictement positif ni strictement négatif, et c'est lui qui sépare les nombres strictement positifs des nombres strictement négatifs. C'est pour cela qu'on ajoute le mot « strictement » chaque fois qu'on veut exclure 0. Ces conventions permettent, dans les chapitres suivants, de placer les relatifs sur une droite graduée, de les comparer, puis de calculer avec eux.

Les erreurs fréquentes

On lit le signe − d'un nombre négatif comme une soustraction : « −5, ça veut dire enlever 5 ».

Ici, le − est un SIGNE qui marque un nombre négatif, une position en dessous de 0 : −5 °C, c'est 5 degrés en dessous de zéro, pas l'opération « moins 5 ».

On croit que 0 n'est ni positif ni négatif.

0 est le seul nombre à la fois positif ET négatif : il n'est ni strictement positif ni strictement négatif. C'est le zéro de référence (0 °C, niveau de la mer, compte vide) qui sépare les nombres strictement positifs des nombres strictement négatifs.

Tu maîtrises la notion si…

• Donner le signe (+ ou −) d'un nombre relatif selon sa position par rapport à 0 (au-dessus / en dessous).
• Associer une situation concrète (température, altitude, solde) au nombre relatif correct, avec le bon signe.
• Reconnaître que 0 est à la fois positif et négatif — donc ni strictement positif ni strictement négatif — et qu'il sert de zéro de référence.

Vérifie que tu as compris

1. Comment écrit-on une température de 4 degrés en dessous de zéro ?

   Réponse −4 °C

   En dessous de zéro → nombre négatif : −4 °C. Le signe − indique la position sous le 0, ce n'est pas une soustraction.

2. Parmi ces nombres, lequel n'est ni strictement positif ni strictement négatif ?

   Réponse 0

   0 est le seul nombre à la fois positif et négatif (positif = supérieur ou égal à 0, négatif = inférieur ou égal à 0) : il n'est ni strictement positif ni strictement négatif. Il sépare les deux côtés de la droite graduée et sert de repère (niveau de la mer, 0 °C).

3. Un sous-marin navigue à 60 m sous le niveau de la mer. Quel nombre relatif donne son altitude ?

   Réponse −60 m

   Le niveau de la mer sert de zéro de référence : sous ce niveau, l'altitude est négative, soit −60 m. Le signe − marque une position, ce n'est pas une soustraction.