L'opposé d'un nombre relatif

L'essentiel

L'opposé d'un nombre, c'est le même nombre mais de l'autre côté du 0. On garde la distance au 0 (on l'appelle la valeur absolue du nombre : le nombre sans son signe), on change juste le signe : l'opposé de +4 est −4, l'opposé de −7 est +7. Sur la droite graduée, un nombre et son opposé sont comme dans un miroir placé sur le 0.

Comprendre

Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils sont à la MÊME distance de 0 mais de part et d'autre de celui-ci : ils ont le même nombre, mais des signes contraires. Cette distance à 0 porte un nom : c'est la VALEUR ABSOLUE du nombre, c'est-à-dire le nombre écrit sans son signe ; un nombre et son opposé ont donc toujours la même valeur absolue (la valeur absolue de −7 comme celle de +7 vaut 7). Pour trouver l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer son signe sans toucher au nombre : l'opposé de +4 est −4 (tous deux à 4 unités de 0), l'opposé de −7 est +7 (tous deux à 7 unités de 0).

Sur une droite graduée, cela se voit très bien : un nombre et son opposé sont symétriques par rapport à l'origine 0, comme deux images dans un miroir posé sur le 0. C'est réciproque : si −7 est l'opposé de +7, alors +7 est l'opposé de −7 ; l'opposé de l'opposé d'un nombre, c'est le nombre de départ. Deux points d'attention. D'abord, changer le signe ne veut pas dire « rendre négatif » : l'opposé d'un nombre négatif est POSITIF (l'opposé de −7 n'est pas −7, mais +7).

Ensuite, le cas particulier du zéro : 0 est à distance 0 de lui-même, il est son propre opposé, donc l'opposé de 0 est 0. La notion d'opposé est essentielle : elle éclaire la symétrie des relatifs autour du 0 et prépare l'addition des nombres relatifs, où un nombre et son opposé s'annulent.

Le cours

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre situé à la même distance de 0, mais de l'autre côté. Cette distance à 0 s'appelle la valeur absolue du nombre : c'est le nombre écrit sans son signe, et un nombre et son opposé ont la même valeur absolue (7 pour −7 comme pour +7). Concrètement, on obtient l'opposé d'un nombre en changeant son signe sans modifier la partie numérique : l'opposé de +4 est −4, et l'opposé de −7 est +7. Un nombre et son opposé sont donc symétriques par rapport à l'origine 0 sur la droite graduée : ils encadrent le 0 à distance égale, comme deux points reflétés par un miroir posé sur l'origine.

La relation est réciproque : l'opposé de l'opposé d'un nombre redonne ce nombre. Il faut se garder d'une confusion : « changer de signe » ne signifie pas « rendre négatif ». L'opposé d'un nombre positif est négatif, mais l'opposé d'un nombre négatif est positif (l'opposé de −7 est +7).

Enfin, le zéro est un cas particulier : situé à l'origine, il est à distance nulle de lui-même, donc l'opposé de 0 est 0. La notion d'opposé met en lumière la symétrie des nombres relatifs autour du 0 ; elle sera réutilisée pour comparer les relatifs et, plus tard, pour additionner des nombres relatifs, où un nombre et son opposé se compensent.

Les erreurs fréquentes

On croit que l'opposé d'un nombre est forcément négatif, donc l'opposé de −7 serait encore −7.

On change le SIGNE : l'opposé de −7 est +7 (même distance à 0, de l'autre côté). L'opposé d'un négatif est positif.

On pense que l'opposé de 0 est un autre nombre.

0 est à distance 0 de lui-même : il est son propre opposé. L'opposé de 0 est 0.

Tu maîtrises la notion si…

• Donner l'opposé d'un nombre relatif en changeant son signe (opposé de +4 = −4, de −7 = +7).
• Justifier qu'un nombre et son opposé sont à la même distance de 0 — la même valeur absolue — et symétriques par rapport à 0.
• Savoir que l'opposé de 0 est 0.

Vérifie que tu as compris

1. Quel est l'opposé de +6 ?

   Réponse −6

   L'opposé garde la même distance à 0 mais change de signe : l'opposé de +6 est −6.

2. Quel est l'opposé de −7 ?

   Réponse +7

   On change le signe : l'opposé de −7 est +7 (même distance à 0 — la même valeur absolue, 7 — mais de l'autre côté).

3. Que vaut la somme d'un nombre relatif et de son opposé ?

   Réponse 0

   Un nombre et son opposé sont à la même distance de zéro, de part et d'autre : ils se compensent exactement. Par exemple (+5) + (−5) = 0.