Comparer et ranger des nombres relatifs

En une phrase

Pour comparer deux nombres relatifs, imagine-les sur la droite graduée : le plus à droite est le plus grand. Un positif est toujours plus grand qu'un négatif. Entre deux négatifs, c'est l'inverse des positifs : −3 est plus grand que −7, parce que −3 est plus proche du 0.

Comprendre

Comparer deux nombres relatifs, c'est dire lequel est le plus grand, et cela se lit directement sur la droite graduée : le plus GRAND est toujours le plus à DROITE, le plus petit le plus à gauche. Trois cas. Entre deux positifs, on retrouve l'ordre habituel : +5 > +2. Entre un positif et un négatif, le positif gagne toujours, car tout nombre négatif est à gauche de 0 donc plus petit que 0, lui-même plus petit que n'importe quel positif : −2 < +1. Le cas délicat est celui de deux négatifs, où l'ordre semble « à l'envers » : −3 > −7. En effet, −3 est à seulement 3 unités à gauche de 0, tandis que −7 est à 7 unités à gauche, donc plus loin sur la gauche, donc plus petit.

Règle utile : entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la DISTANCE à 0 est la plus petite. Attention au piège : ce n'est pas parce que 7 > 3 que −7 > −3 ; c'est le contraire. Une fois la comparaison maîtrisée, on peut RANGER une liste dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand), en la parcourant de la gauche vers la droite de la droite graduée : par exemple −7 < −3 < 0 < +2 < +5. On peut aussi ENCADRER un nombre entre les deux entiers qui l'entourent, par exemple −4 < −3 < −2. Le symbole < se lit « est inférieur à », le symbole > « est supérieur à ».

Le cours

Comparer deux nombres relatifs revient à déterminer leur ordre sur la droite graduée : le plus grand est celui situé le plus à droite. On distingue trois situations. Entre deux nombres positifs, l'ordre est l'ordre usuel : +5 est supérieur à +2. Entre un nombre positif et un nombre négatif, le positif est toujours le plus grand, car tout nombre strictement négatif est inférieur à 0 et tout nombre strictement positif lui est supérieur : ainsi −2 < +1. Entre deux nombres négatifs, l'ordre paraît inversé par rapport aux distances : le plus grand est celui qui est le plus proche de 0, c'est-à-dire celui de plus petite distance à 0 (de plus petite valeur absolue).

Par exemple −3 est supérieur à −7, car −3 se situe 3 unités à gauche de 0 alors que −7 s'en trouve à 7 unités, donc plus loin vers la gauche. Il ne faut pas conclure de 7 > 3 que −7 > −3 : c'est l'inverse. Après avoir comparé, on peut ranger une liste de nombres relatifs dans l'ordre croissant, du plus petit au plus grand, en lisant la droite graduée de la gauche vers la droite : −7 < −3 < 0 < +2 < +5. On peut également encadrer un nombre décimal par les deux entiers consécutifs qui l'entourent, comme −3 < −2,5 < −2. Les symboles utilisés sont < (« inférieur à ») et > (« supérieur à »).

Cette comparaison réutilise le repérage sur la droite graduée et s'appuiera plus tard sur les opérations avec les relatifs.

Les erreurs fréquentes

On applique l'ordre des positifs aux négatifs : comme 7 > 3, on écrit −7 > −3.

Pour deux négatifs, c'est l'inverse : plus la distance à 0 est grande, plus le nombre est petit. −7 est plus à gauche que −3, donc −7 < −3 (et −3 > −7).

On pense qu'un nombre négatif peut être plus grand qu'un nombre positif.

Tout nombre strictement négatif est à gauche de 0, donc inférieur à 0, donc inférieur à tout nombre strictement positif : par exemple −2 < +1.

Tu maîtrises la notion si…

• Comparer deux nombres relatifs à l'aide de la droite graduée (le plus à droite est le plus grand).
• Comparer deux nombres négatifs en utilisant la distance à 0 (−3 > −7).
• Ranger une liste de nombres relatifs dans l'ordre croissant.

Vérifie que tu as compris

1. Parmi ces nombres, lequel est le plus grand : −3 ; −7 ou −10 ?

   Réponse −3

   Sur la droite graduée, −3 est le plus à droite des trois : −10 < −7 < −3. Entre deux négatifs, le plus grand est celui de plus petite valeur absolue (plus petite distance à 0).

2. Range dans l'ordre croissant : +2 ; −5 ; 0 ; −1.

   Réponse −5 < −1 < 0 < +2

   Du plus à gauche au plus à droite sur la droite graduée : −5, puis −1, puis 0, puis +2.

3. Quel nombre est compris entre −4 et −1 ?

   Réponse −3

   Il faut un nombre situé à droite de −4 et à gauche de −1 : −3 convient, car −4 < −3 < −1. Le nombre −5 est plus à gauche que −4, tandis que 0 et +2 sont à droite de −1.