La symétrie centrale

En une phrase

Faire la symétrie de centre O, c'est faire un demi-tour autour du point O. Le point A vient se poser sur un point A′ situé de l'autre côté de O, exactement à la même distance : O est alors le milieu de [AA′].

Comprendre

La symétrie centrale est une transformation qui fait tourner toute la figure d'un demi-tour (180°) autour d'un point fixe appelé centre, souvent noté O. Pour construire l'image A′ d'un point A, on trace la demi-droite [AO), on la prolonge au-delà de O, puis on place A′ à la même distance de O que A. On a alors deux conditions : les points A, O et A′ sont ALIGNÉS, et les longueurs OA et OA′ sont ÉGALES. Ces deux conditions se résument en une seule phrase : O est le MILIEU du segment [AA′]. Par exemple, si A est situé à 3 cm à gauche de O, alors A′ est à 3 cm à droite de O, sur la droite (AO).

Attention à ne pas confondre la symétrie centrale avec la symétrie axiale : la symétrie axiale est un pliage le long d'un axe (comme un miroir), alors que la symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point. Dans la symétrie centrale, il n'y a pas d'axe mais un centre : la figure fait un demi-tour et apparaît « tête en bas », sans être retournée comme dans un miroir (son sens de parcours est conservé). Enfin, un cas particulier utile : l'image du centre O par la symétrie de centre O est O lui-même, car O est à distance nulle de lui-même.

Le cours

La symétrie centrale de centre O associe à chaque point A un unique point A′, appelé image de A, obtenu en faisant tourner A d'un demi-tour autour de O. Pour construire A′, on procède en trois temps : (1) on trace la droite (AO) ; (2) on reporte, de l'autre côté de O, une longueur égale à OA ; (3) on obtient A′ tel que OA = OA′ avec A, O, A′ alignés. Ces conditions signifient exactement que O est le milieu du segment [AA′]. On dit alors que A et A′ sont symétriques par rapport au point O. Il ne faut pas confondre cette transformation avec la symétrie axiale (symétrie par rapport à une droite), qui correspond à un pliage : la symétrie centrale, elle, correspond à un demi-tour autour d'un point, qui met la figure « tête en bas » sans inverser son sens de parcours.

On retiendra aussi que le centre O est son propre symétrique, et que si O est le milieu de [AB], alors A et B sont symétriques par rapport à O. Cette notion prépare l'étude de l'image d'une figure entière et des propriétés conservées (longueurs, angles, aires, parallélisme).

Les erreurs fréquentes

On confond la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point) avec la symétrie axiale (pliage le long d'un axe).

La symétrie centrale n'a pas d'axe mais un centre O : l'image A′ vérifie que O est le milieu de [AA′], et la figure a tourné d'un demi-tour autour de O.

On place A′ du même côté de O que A, sans prolonger au-delà de O.

A′ est de l'AUTRE côté de O, à la même distance : A, O et A′ sont alignés avec OA = OA′.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la symétrie centrale de centre O est le demi-tour autour de O.
• Construire l'image A′ d'un point A : A, O, A′ alignés et OA = OA′.
• Reconnaître que O est le milieu du segment [AA′].

Vérifie que tu as compris

1. A′ est l'image de A par la symétrie de centre O. Que peut-on dire de O ?

   Réponse O est le milieu de [AA′]

   Par la symétrie de centre O, A, O, A′ sont alignés et OA = OA′ : O est donc le milieu de [AA′].

2. Le point A est à 5 cm du centre O. À quelle distance de O se trouve son image A′ ?

   Réponse 5 cm

   La symétrie centrale conserve la distance au centre : OA′ = OA = 5 cm (A′ est de l'autre côté de O).

3. On plie une feuille le long d'une droite et les deux moitiés d'un dessin se superposent exactement. De quelle transformation s'agit-il ?

   Réponse une symétrie axiale

   Le pliage le long d'une droite, c'est la symétrie axiale : la droite du pli est l'axe. La symétrie centrale, elle, n'a pas d'axe mais un centre, et correspond à un demi-tour autour de ce point.