Angles et parallélisme

En une phrase

Trace deux droites parallèles et une troisième qui les traverse : la sécante. Elle crée des angles. Les alternes-internes (entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante) sont égaux ; les correspondants (à la même place aux deux croisements) aussi. Et si tu vois ces angles égaux, c'est que les droites sont parallèles.

Comprendre

Lorsqu'une droite (la sécante) coupe deux autres droites, elle forme des angles en deux points d'intersection. On donne des noms à certaines paires. Les angles ALTERNES-INTERNES sont situés entre les deux droites (côté intérieur) et de part et d'autre de la sécante ; ils dessinent un « Z ».

Les angles CORRESPONDANTS occupent la même position à chacun des deux croisements ; ils dessinent un « F ». La propriété essentielle est la suivante : SI les deux droites coupées sont PARALLÈLES, alors les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants sont égaux. Par exemple, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante et qu'un angle mesure 55°, alors son alterne-interne mesure aussi 55°, et son correspondant aussi.

Attention : cette égalité n'est vraie QUE si les droites sont parallèles ; si elles ne le sont pas, les angles ne sont pas égaux. Il existe aussi la RÉCIPROQUE, très utile pour démontrer un parallélisme : SI deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, ALORS les deux droites sont parallèles. On peut ainsi, selon les cas, calculer une mesure d'angle quand on sait que les droites sont parallèles, ou bien prouver que deux droites sont parallèles quand on connaît une égalité d'angles.

Le cours

Deux droites coupées par une sécante déterminent, en leurs deux points d'intersection, plusieurs paires d'angles remarquables. Les angles alternes-internes sont situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante (configuration en « Z »). Les angles correspondants occupent la même position relative aux deux intersections (configuration en « F »).

Propriété directe : si les deux droites sont parallèles, alors deux angles alternes-internes sont égaux, et deux angles correspondants sont égaux. Ainsi, pour deux parallèles coupées par une sécante, connaître un angle permet de déduire son alterne-interne et son correspondant. Réciproque : si deux angles alternes-internes (ou deux angles correspondants) sont égaux, alors les deux droites coupées sont parallèles.

Cette réciproque sert à DÉMONTRER un parallélisme. Il faut retenir que l'égalité des angles alternes-internes ou correspondants est liée au parallélisme : sans parallélisme, l'égalité n'est pas garantie. On veillera aussi à ne pas confondre alternes-internes (de part et d'autre de la sécante) et correspondants (du même côté, à la même place), même si, avec des parallèles, les deux paires donnent des angles égaux.

Les erreurs fréquentes

On affirme que les angles alternes-internes sont égaux sans vérifier que les droites sont parallèles.

L'égalité des alternes-internes (ou des correspondants) n'est vraie que si les deux droites sont PARALLÈLES. Sans parallélisme, l'égalité n'est pas garantie.

On confond angles alternes-internes et angles correspondants.

Les alternes-internes sont entre les droites et de part et d'autre de la sécante (en « Z ») ; les correspondants sont à la même place aux deux croisements (en « F »).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître deux angles alternes-internes et deux angles correspondants.
• Utiliser : deux parallèles coupées par une sécante ont des angles alternes-internes (ou correspondants) égaux.
• Utiliser la réciproque : deux angles alternes-internes (ou correspondants) égaux ⇒ droites parallèles.

Vérifie que tu as compris

1. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 62°. Combien mesure son angle alterne-interne ?

   Réponse 62°

   Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux : l'alterne-interne du 62° vaut 62°.

2. Deux droites (d) et (d′) sont coupées par une sécante ; deux angles correspondants sont égaux. Que peut-on en déduire ?

   Réponse (d) et (d′) sont parallèles

   Réciproque : si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.

3. Une sécante coupe deux droites qui ne sont PAS parallèles. Les angles alternes-internes sont-ils égaux ?

   Réponse Non : cette égalité n'a lieu que si les droites sont parallèles

   L'égalité des angles alternes-internes est une conséquence du parallélisme : sans droites parallèles, elle tombe. C'est justement ce qui rend la réciproque utile : si ces angles sont égaux, alors les droites sont parallèles.