Démontrer avec les angles

En une phrase

Une démonstration, c'est une suite d'étapes où, à chaque fois, tu dis quelle propriété tu utilises. En partant d'un angle connu, tu passes d'un angle à l'autre grâce aux propriétés, jusqu'à trouver la mesure cherchée (ou prouver un parallélisme).

Comprendre

Démontrer une mesure d'angle, ce n'est pas seulement donner un nombre : c'est expliquer POURQUOI, en citant à chaque étape la propriété utilisée. On part de ce que l'on sait (les données, par exemple deux droites parallèles et un angle de 55°), puis on avance de proche en proche. Prenons un exemple.

On sait que (d) et (d′) sont parallèles et qu'un angle vaut 55° ; on cherche la mesure d'un angle x. Étape 1 : cet angle de 55° et un angle y sont CORRESPONDANTS ; comme (d) et (d′) sont parallèles, les angles correspondants sont égaux, donc y = 55°. Étape 2 : l'angle y et l'angle x sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET, donc ils sont égaux : x = y = 55°.

Conclusion : x = 55°. Chaque étape suit le même schéma : je repère une paire d'angles, je nomme la propriété (correspondants égaux, opposés par le sommet égaux, supplémentaires de somme 180°…), j'en déduis une égalité. Une démonstration peut aussi servir à prouver un PARALLÉLISME : si l'on établit que deux angles alternes-internes sont égaux, on conclut, par la réciproque, que les droites sont parallèles.

L'erreur à éviter est de donner une mesure sans justification, ou d'utiliser une propriété de parallélisme alors que le parallélisme n'est pas donné.

Le cours

Une démonstration en géométrie enchaîne des propriétés connues pour établir un résultat, en justifiant chaque étape. Pour les angles, on dispose d'un petit répertoire de propriétés : deux angles opposés par le sommet sont égaux ; deux angles supplémentaires ont pour somme 180° ; deux angles complémentaires ont pour somme 90° ; avec deux droites parallèles coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux et les correspondants sont égaux ; réciproquement, l'égalité de tels angles entraîne le parallélisme. Méthode : (1) repérer les données (angles connus, droites parallèles) ; (2) à chaque étape, identifier une paire d'angles et citer la propriété qui les relie ; (3) en déduire une nouvelle égalité ; (4) répéter jusqu'à la conclusion.

Exemple : (d)∥(d′), un angle vaut 55°, on cherche x. Étape 1 : 55° et y sont correspondants et (d)∥(d′), donc y = 55°. Étape 2 : y et x sont opposés par le sommet, donc x = y = 55°.

Conclusion : x = 55°. On peut aussi démontrer un parallélisme : si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles (réciproque). Une bonne rédaction cite toujours la propriété utilisée : c'est ce qui distingue une démonstration d'une simple affirmation.

Les erreurs fréquentes

On donne la mesure d'un angle sans citer la propriété qui la justifie.

Une démonstration justifie chaque étape : il faut nommer la propriété utilisée (correspondants égaux, opposés par le sommet égaux, supplémentaires de somme 180°…).

On utilise « les angles correspondants sont égaux » alors que le parallélisme n'est pas donné.

Cette propriété n'est valable que si les droites sont parallèles. Sans cette donnée, l'étape n'est pas justifiée.

Tu maîtrises la notion si…

• Citer, à chaque étape, la propriété des angles utilisée (correspondants, opposés par le sommet, supplémentaires…).
• Enchaîner deux propriétés pour déterminer la mesure d'un angle.
• Rédiger une courte démonstration menant à une mesure ou à un parallélisme.

Vérifie que tu as compris

1. Dans une démonstration sur les angles, que doit-on faire à chaque étape ?

   Réponse citer la propriété utilisée

   Une démonstration justifie chaque étape en nommant la propriété (correspondants égaux, opposés par le sommet égaux, etc.).

2. (d)∥(d′) et un angle vaut 55°. Son correspondant vaut y, et x est opposé par le sommet à y. Combien vaut x ?

   Réponse 55°

   Correspondants (car parallèles) : y = 55° ; puis opposés par le sommet : x = y = 55°. On enchaîne deux propriétés.

3. Quelle phrase n'a PAS sa place dans une démonstration sur les angles ?

   Réponse « On le voit bien sur la figure. »

   Une démonstration ne s'appuie jamais sur l'apparence du dessin : on part des données, on cite une propriété du cours, puis on conclut. Les trois autres phrases sont exactement ces trois étapes.