Image d'une figure

En une phrase

Quand tu fais le symétrique d'une figure par rapport à un point O, tu obtiens une figure identique, simplement tournée d'un demi-tour : elle apparaît « tête en bas ». Rien n'est déformé : les côtés gardent la même longueur, les angles la même mesure, l'aire ne change pas. Et chaque droite devient une droite parallèle.

Comprendre

Pour construire l'image d'une figure par une symétrie centrale de centre O, on construit l'image de chacun de ses sommets, puis on relie les images dans le même ordre. Le point important, c'est ce que la transformation CONSERVE. La symétrie centrale conserve les longueurs : chaque côté de l'image a exactement la même longueur que le côté correspondant de la figure de départ.

Elle conserve aussi les mesures des angles et les aires : la figure et son image sont donc superposables (on pourrait poser l'une sur l'autre en faisant un demi-tour). Une propriété très utile concerne les droites : l'image d'une droite (d) par une symétrie centrale est une droite (d′) PARALLÈLE à (d). Par exemple, l'image du côté [AB] d'un triangle est un segment [A′B′] tel que A′B′ = AB et (A′B′) est parallèle à (AB).

La seule chose qui change, c'est la POSITION : la figure a fait un demi-tour autour de O, elle apparaît « tête en bas ». Attention, un demi-tour n'est PAS un miroir : le sens de parcours est conservé. Ainsi, si les sommets d'un triangle se lisent A, B, C dans le sens des aiguilles d'une montre, les sommets images A′, B′, C′ se lisent eux aussi dans le sens des aiguilles d'une montre (c'est la symétrie axiale, elle, qui inverse ce sens).

Il ne faut donc pas croire que l'image est agrandie, réduite ou déformée : elle est de même taille, simplement tournée d'un demi-tour.

Le cours

L'image d'une figure par une symétrie centrale de centre O s'obtient en construisant l'image de chaque sommet (chaque sommet M a pour image M′ tel que O soit le milieu de [MM′]), puis en reliant ces images. Cette transformation possède des propriétés de conservation essentielles. Conservation des longueurs : si [AB] a pour image [A′B′], alors A′B′ = AB.

Conservation des angles : la mesure d'un angle de la figure est égale à la mesure de l'angle image. Conservation des aires : la figure et son image ont la même aire. On dit que la figure et son image sont superposables.

De plus, l'image d'une droite (d) est une droite (d′) parallèle à (d) : (AB) et (A′B′) sont parallèles. La symétrie centrale est un demi-tour, c'est-à-dire une rotation de 180° autour de O : la figure image apparaît « tête en bas », mais elle CONSERVE le sens de parcours. Les sommets A, B, C lus dans un sens donnent des images A′, B′, C′ qui se lisent dans le MÊME sens ; c'est la symétrie axiale, elle, qui inverse ce sens, comme un miroir.

Ces propriétés servent à construire rapidement une image, mais aussi à justifier des égalités de longueurs ou d'angles et des relations de parallélisme dans des démonstrations.

Les erreurs fréquentes

On croit que l'image d'une figure par symétrie centrale est agrandie ou réduite.

La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et l'aire : l'image a exactement la même taille que la figure de départ.

On croit que la symétrie centrale retourne la figure comme un miroir, à la manière de la symétrie axiale.

Un demi-tour n'est pas un miroir : la figure image se parcourt dans le MÊME sens (A, B, C et A′, B′, C′ tournent dans le même sens). Elle a seulement tourné de 180° autour de O, et chaque droite a pour image une droite parallèle.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires.
• Reconnaître qu'une droite et son image par symétrie centrale sont parallèles.
• Justifier que la figure et son image sont superposables par un demi-tour autour de O, qui conserve le sens de parcours.

Vérifie que tu as compris

1. Que conserve une symétrie centrale entre une figure et son image ?

   Réponse les longueurs, les angles et l'aire

   La symétrie centrale conserve longueurs, angles et aires : la figure et son image sont superposables (seulement tournées d'un demi-tour autour de O).

2. (A′B′) est l'image de la droite (AB) par une symétrie centrale. Quelle est leur position relative ?

   Réponse elles sont parallèles

   L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle à la droite de départ : (AB) ∥ (A′B′).

3. Un carré de 4 cm de côté subit une symétrie centrale. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?

   Réponse 16 cm²

   L'aire du carré vaut 4 × 4 = 16 cm², et la symétrie centrale conserve les aires : la figure obtenue a donc elle aussi 16 cm². La position du centre ne change rien à l'aire.