La réciproque de Thalès

En une phrase

La réciproque de Thalès, c'est l'outil pour prouver que deux droites sont parallèles. Tu vérifies deux choses : que les rapports des longueurs sont égaux, et que les points sont placés dans le même ordre sur les deux droites. Si les deux conditions sont réunies, les droites sont parallèles.

Comprendre

Le théorème de Thalès part de droites parallèles et en déduit une égalité de rapports. La réciproque fait le chemin inverse : elle part de l'égalité des rapports pour en déduire que les droites sont parallèles. C'est donc l'outil qui sert à DÉMONTRER un parallélisme, ce que le théorème direct ne permet pas.

Mais attention, il y a deux conditions à vérifier, pas une seule. Première condition : les rapports doivent être égaux, par exemple AM/AB = AN/AC. Deuxième condition, tout aussi importante : les points doivent être rangés dans le même ordre sur les deux droites (par exemple A, M, B dans cet ordre sur la première droite et A, N, C dans le même ordre sur la seconde, c'est-à-dire que M et N sont du même côté de A).

Si l'égalité des rapports est vraie ET que l'ordre des points est respecté, alors on peut conclure que (MN) est parallèle à (BC). Si l'ordre n'est pas le même, l'égalité des rapports ne suffit pas et les droites ne sont pas forcément parallèles. La méthode pratique consiste à calculer séparément les deux rapports, à comparer leurs valeurs, puis à vérifier la disposition des points avant de conclure.

Le cours

La réciproque du théorème de Thalès est l'outil qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Là où le théorème direct dit « si les droites sont parallèles, alors les rapports sont égaux », la réciproque dit « si les rapports sont égaux et si les points sont dans le même ordre, alors les droites sont parallèles ». Énoncé précis : on considère deux droites sécantes en A, un point M et un point B sur la première, un point N et un point C sur la seconde.

Si AM/AB = AN/AC, ET si les points A, M, B et A, N, C sont rangés dans le même ordre sur leurs droites respectives, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Les deux conditions sont indispensables. L'égalité des rapports seule ne suffit pas : il faut aussi que M et N soient placés du même côté de A (même ordre), sinon on pourrait avoir des rapports égaux sans parallélisme.

En pratique, pour rédiger une démonstration : on calcule d'abord chacun des deux rapports sous forme de fraction ou de nombre décimal, on les compare ; si et seulement s'ils sont égaux et que l'ordre des points est respecté, on conclut que les droites sont parallèles. Si les rapports sont différents, on conclut que les droites ne sont pas parallèles. La réciproque de Thalès est ainsi un argument rigoureux très utilisé dans les démonstrations de géométrie.

Les erreurs fréquentes

On conclut que les droites sont parallèles dès que les rapports sont égaux, sans vérifier que les points sont rangés dans le même ordre.

L'égalité des rapports ne suffit pas : il faut AUSSI que les points soient dans le même ordre sur les deux droites (M et N du même côté de A). Les deux conditions doivent être réunies pour conclure au parallélisme.

On confond le théorème direct et sa réciproque, en utilisant la réciproque pour calculer une longueur.

La réciproque sert à DÉMONTRER que des droites sont parallèles, pas à calculer une longueur. Pour calculer une longueur, on part de droites déjà parallèles et on utilise le théorème direct.

Tu maîtrises la notion si…

• Savoir que la réciproque de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
• Vérifier les deux conditions : l'égalité des rapports ET le même ordre des points sur les deux droites.
• Rédiger la conclusion en comparant les rapports avant d'affirmer que les droites sont (ou ne sont pas) parallèles.

Vérifie que tu as compris

1. La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que :

   Réponse deux droites sont parallèles

   La réciproque : si les rapports sont égaux (et les points dans le même ordre), alors les droites sont parallèles.

2. Pour appliquer la réciproque de Thalès, il faut vérifier l'égalité des rapports ET :

   Réponse que les points sont alignés dans le même ordre

   La réciproque exige que les points soient placés dans le même ordre sur les deux sécantes ; sinon les droites ne sont pas parallèles.

3. Dans une démonstration qui utilise la réciproque de Thalès, qu'écrit-on juste avant de conclure au parallélisme ?

   Réponse les deux quotients calculés à part, puis leur égalité

   La rédaction attendue calcule SÉPARÉMENT les deux quotients (par exemple AM/AB d'un côté, AN/AC de l'autre), puis constate qu'ils sont égaux. C'est cette égalité, jointe à l'ordre des points, qui autorise la conclusion. Ni les aires, ni les angles, ni une somme de longueurs n'interviennent.