La configuration de Thalès

En une phrase

La configuration de Thalès, c'est le dessin qu'il te faut pour avoir le droit d'utiliser le théorème : deux droites qui se croisent en un point, et deux droites parallèles qui les coupent. Ça crée deux triangles l'un dans l'autre (emboîtés) ou en forme de papillon.

Comprendre

Avant d'appliquer le théorème de Thalès, il faut d'abord reconnaître la bonne situation : c'est ce qu'on appelle la configuration de Thalès. Elle est faite de deux ingrédients à vérifier absolument. Premier ingrédient : deux droites qui se coupent en un même point (deux droites sécantes), souvent appelé le sommet ; sur ces deux droites se trouvent des points alignés avec ce sommet.

Deuxième ingrédient : deux droites parallèles qui viennent couper ces deux premières droites. Quand ces deux conditions sont réunies, le dessin fait apparaître deux triangles : un petit et un grand, qui partagent le même sommet et qui sont emboîtés l'un dans l'autre comme des poupées russes. Le théorème de Thalès dira alors que le petit triangle est une réduction du grand.

La condition la plus importante à ne jamais oublier, c'est le parallélisme : sans les deux droites parallèles, il n'y a pas de configuration de Thalès, et le théorème ne s'applique pas. Tu dois aussi faire attention à l'alignement des points : les sommets correspondants doivent être alignés avec le point de croisement. Quand le point de croisement se trouve entre les deux parallèles, le dessin ressemble à un nœud papillon, mais c'est exactement la même configuration.

Retiens donc : configuration de Thalès = deux sécantes + deux parallèles = deux triangles emboîtés (ou papillon).

Le cours

La configuration de Thalès est la situation géométrique qui autorise l'emploi du théorème de Thalès. Elle se compose de deux droites sécantes en un point, que l'on peut appeler A, et de deux droites parallèles qui coupent ces deux sécantes. Sur l'une des sécantes, on place deux points (par exemple B et M alignés avec A) ; sur l'autre, deux points correspondants (par exemple C et N alignés avec A).

Les droites (BC) et (MN) sont les deux droites parallèles. On obtient ainsi deux triangles, ABC et AMN, qui ont le sommet A en commun et qui sont emboîtés. Pour pouvoir appliquer le théorème, deux conditions doivent impérativement être réunies.

Première condition : les points doivent être alignés sur chaque sécante, c'est-à-dire A, M, B alignés d'un côté et A, N, C alignés de l'autre. Seconde condition, la plus décisive : les droites (BC) et (MN) doivent être parallèles. C'est ce parallélisme qui garantit que les longueurs des deux triangles sont proportionnelles.

Lorsque le point de croisement A est situé à l'extérieur du segment entre les deux parallèles, les triangles sont simplement emboîtés ; lorsqu'il est situé entre les deux parallèles, la figure prend la forme d'un papillon, mais il s'agit de la même configuration de Thalès. Savoir repérer cette configuration, et surtout vérifier les conditions d'alignement et de parallélisme, est l'étape indispensable avant d'écrire la moindre égalité de Thalès.

Les erreurs fréquentes

Appliquer le théorème de Thalès sans vérifier que les deux droites qui coupent les sécantes sont bien parallèles.

Le parallélisme des deux droites est une condition obligatoire de la configuration de Thalès. Sans deux droites parallèles, on n'a pas le droit d'appliquer le théorème : il faut toujours vérifier ou justifier ce parallélisme d'abord.

Penser que la configuration papillon (point de croisement entre les deux parallèles) n'est pas une configuration de Thalès.

Que les triangles soient emboîtés ou en papillon, il s'agit de la même configuration de Thalès : deux sécantes coupées par deux parallèles. Le théorème s'applique dans les deux cas.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier une configuration de Thalès : deux droites sécantes en un point coupées par deux droites parallèles.
• Décrire les deux conditions d'application : l'alignement des points sur chaque sécante et le parallélisme des deux droites.
• Reconnaître aussi bien les triangles emboîtés que la configuration papillon comme des configurations de Thalès.

Vérifie que tu as compris

1. Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut :

   Réponse deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles

   La configuration de Thalès = deux droites sécantes (en un point) coupées par deux droites parallèles.

2. Les droites (BM) et (CN) se coupent en A. Quelle condition supplémentaire rend la configuration de Thalès utilisable ?

   Réponse (MN) et (BC) doivent être parallèles

   Une configuration de Thalès, c'est deux droites sécantes (ici en A) coupées par deux droites PARALLÈLES. Le parallélisme de (MN) et (BC) est la seule condition qui manque ici : sans lui, aucune égalité de rapports n'est garantie. Ni la perpendicularité, ni l'égalité AM = AN, ni un angle droit ne sont demandés.

3. Dans la configuration en triangles emboîtés, qu'ont en commun le petit triangle AMN et le grand triangle ABC ?

   Réponse le sommet A et l'angle en A

   Les deux triangles sont emboîtés : ils partagent le sommet A, donc aussi l'angle de sommet A. C'est ce sommet commun qui sert de point de départ à tous les rapports (AM/AB, AN/AC). Leurs côtés sont différents et leurs aires aussi, puisque l'un est une réduction de l'autre.