Calculer une longueur avec Thalès

En une phrase

Quand il te manque une longueur dans une configuration de Thalès, tu écris d'abord l'égalité des rapports, tu remplaces par les valeurs connues, puis tu fais le produit en croix pour trouver la longueur cherchée.

Comprendre

Le théorème de Thalès te donne une égalité de rapports entre les côtés des deux triangles, et cette égalité est un outil de calcul puissant : elle te permet de trouver une longueur que tu ne connais pas. La méthode se fait toujours en trois temps. D'abord, tu écris l'égalité de Thalès complète, par exemple AM/AB = AN/AC = MN/BC, en plaçant bien chaque longueur au bon endroit.

Ensuite, tu choisis le rapport qui contient ta longueur inconnue ainsi que trois longueurs connues : par exemple, si tu cherches AN et que tu connais AC, AM et AB, tu gardes AM/AB = AN/AC. Enfin, tu isoles l'inconnue grâce au produit en croix : à partir de AM/AB = AN/AC, tu obtiens AN = (AC × AM) / AB ; il ne te reste plus qu'à remplacer par les nombres et à calculer. Le produit en croix, c'est simplement la règle qui dit que dans une égalité de deux fractions, le produit des termes en croix est égal : a/b = c/d donne a × d = b × c.

Pense bien à choisir le rapport adapté (celui où il n'y a qu'une seule inconnue), à respecter les unités, et à vérifier que ton résultat est cohérent : une longueur trouvée doit être positive et de taille raisonnable par rapport au dessin.

Le cours

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès est l'une des applications les plus utiles du chapitre. On part d'une configuration de Thalès valide (deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles) et le théorème nous donne l'égalité des trois rapports, par exemple AM/AB = AN/AC = MN/BC. Pour trouver une longueur manquante, on procède méthodiquement.

Étape 1 : on écrit l'égalité de Thalès en entier, en veillant à mettre les longueurs du « petit » triangle au numérateur et celles du « grand » triangle au dénominateur (ou l'inverse, mais toujours de façon cohérente). Étape 2 : on sélectionne l'égalité de deux rapports qui contient une seule inconnue et trois longueurs connues. Étape 3 : on isole l'inconnue par un produit en croix.

Le produit en croix repose sur la propriété des proportions : si a/b = c/d, alors a × d = b × c. Ainsi, si AM/AB = AN/AC avec AN cherché, on écrit AN × AB = AC × AM, d'où AN = (AC × AM) / AB. On remplace ensuite par les valeurs numériques et on effectue le calcul, sans oublier l'unité (cm, m…).

Il est important de vérifier la cohérence du résultat : une longueur est toujours positive, et son ordre de grandeur doit correspondre à ce que suggère la figure. Cette méthode, écrire l'égalité puis appliquer le produit en croix, est valable dans toutes les configurations de Thalès, y compris la configuration papillon.

Les erreurs fréquentes

On additionne ou soustrait les longueurs au lieu d'écrire l'égalité des rapports, comme si Thalès donnait AN = AC + AM − AB.

Thalès donne une égalité de fractions, pas une somme : il faut écrire AM/AB = AN/AC puis faire le produit en croix, ce qui donne AN = (AC × AM) / AB, et non une addition ou une soustraction des longueurs.

On mélange les longueurs dans les rapports, par exemple écrire AM/AC = AN/AB en croisant les côtés des deux triangles.

Chaque rapport doit comparer un côté du petit triangle à son côté correspondant dans le grand triangle : AM/AB et AN/AC vont ensemble (AM et AB sur la même droite, AN et AC sur l'autre) ; il ne faut pas les croiser.

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire correctement l'égalité des rapports de Thalès en plaçant chaque longueur au bon numérateur et dénominateur.
• Isoler la longueur cherchée par un produit en croix, par exemple AN = (AC × AM) / AB.
• Effectuer le calcul avec la bonne unité et vérifier que le résultat est positif et cohérent avec la figure.

Vérifie que tu as compris

1. Avec AM/AB = AN/AC et AM = 2, AB = 6, AC = 9, la longueur AN vaut :

   Réponse 3

   AN = AC × AM/AB = 9 × 2/6 = 9 × 1/3 = 3.

2. Avec AM/AB = MN/BC, AM = 3, AB = 12 et BC = 8, la longueur MN vaut :

   Réponse 2

   MN = BC × AM/AB = 8 × 3/12 = 8 × 0,25 = 2.

3. (MN) ∥ (BC), M sur [AB] et N sur [AC]. On sait que AM = 4 cm, AN = 5 cm et AC = 15 cm. Combien mesure AB ?

   Réponse 12 cm

   Thalès donne AM/AB = AN/AC, soit 4/AB = 5/15. Le rapport de réduction vaut 5/15 = 1/3, donc AB = 4 × 15 ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12 cm. On vérifie : 4/12 = 1/3 = 5/15. La valeur 1,3 cm vient de 4 × 5 ÷ 15 (mauvaise diagonale) et 14 cm d'un calcul additif (4 + 15 − 5).