Le théorème de Thalès

En une phrase

Le théorème de Thalès, c'est la machine à fabriquer des égalités de rapports. Quand tu as la bonne configuration (deux sécantes + deux parallèles), il te dit que les longueurs des deux triangles sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Le petit triangle est une réduction du grand.

Comprendre

Le théorème de Thalès est le résultat le plus important du chapitre. Il s'utilise dans une configuration de Thalès : deux droites sécantes en un point A, coupées par deux droites parallèles (MN) et (BC), avec A, M, B alignés et A, N, C alignés. Le théorème affirme alors que les longueurs des côtés correspondants des deux triangles AMN et ABC sont proportionnelles.

Concrètement, il donne une triple égalité de rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Chaque fraction compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand triangle. Toutes ces fractions sont égales au même nombre, qui est le rapport de réduction : le petit triangle est une réduction du grand triangle, avec ce rapport.

C'est très exactement l'idée d'agrandissement-réduction vue au début : un seul rapport pour toutes les longueurs. Le secret pour bien écrire l'égalité, c'est de respecter l'ordre des points et de mettre face à face les côtés qui se correspondent (le petit côté en haut, le grand côté correspondant en bas). Une fois cette égalité écrite, on peut s'en servir pour calculer une longueur manquante grâce au produit en croix, mais ça, c'est l'étape suivante.

Retiens d'abord le cœur du théorème : dans la configuration de Thalès, les côtés correspondants des deux triangles sont proportionnels, ce qui s'écrit AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Le cours

Le théorème de Thalès s'énonce dans une configuration de Thalès. On considère deux droites sécantes en un point A. Sur la première, les points A, M, B sont alignés ; sur la seconde, les points A, N, C sont alignés. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles, ce qui se traduit par l'égalité des trois rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Chacun de ces rapports compare un côté du triangle AMN à son côté correspondant dans le triangle ABC : AM correspond à AB (côtés portés par la première sécante), AN correspond à AC (côtés portés par la seconde sécante), et MN correspond à BC (les deux côtés parallèles). Ces trois rapports sont tous égaux au même nombre, qui est le coefficient de proportionnalité : le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC selon ce rapport. Le théorème de Thalès est donc une application directe de la proportionnalité des longueurs étudiée avec les agrandissements-réductions : les deux parallèles découpent deux triangles dont l'un est l'image de l'autre.

Pour écrire correctement l'égalité, il faut placer face à face les longueurs correspondantes en respectant l'ordre des points (numérateurs sur le petit triangle, dénominateurs sur le grand). Cette égalité des rapports est l'outil qui permettra ensuite de calculer une longueur inconnue à l'aide du produit en croix.

Les erreurs fréquentes

Écrire les rapports en mélangeant les côtés, par exemple AM/AC = AN/AB, sans respecter les côtés qui se correspondent.

Il faut comparer les côtés correspondants : AM va avec AB (même sécante), AN va avec AC (même sécante), MN va avec BC (les parallèles). L'égalité correcte est AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Appliquer le théorème de Thalès alors que les deux droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Le théorème ne donne l'égalité des rapports que si (MN) et (BC) sont parallèles. Sans ce parallélisme, l'égalité AM/AB = AN/AC = MN/BC est fausse et le théorème ne s'applique pas.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC dans la configuration AMN-ABC.
• Relier le théorème de Thalès à la proportionnalité : les longueurs des deux triangles sont proportionnelles et le petit triangle est une réduction du grand.
• Mettre face à face les côtés correspondants en respectant l'ordre des points pour écrire l'égalité sans se tromper.

Vérifie que tu as compris

1. Le théorème de Thalès donne une égalité de :

   Réponse rapports de longueurs

   Thalès affirme l'égalité des rapports des longueurs des côtés correspondants des deux triangles.

2. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, M sur [AB] et N sur [AC]. L'égalité de Thalès correcte est :

   Réponse AM/AB = AN/AC = MN/BC

   On écrit les rapports des côtés correspondants du petit triangle AMN au grand triangle ABC, dans le même ordre.

3. Que ne permet PAS de calculer le théorème de Thalès ?

   Réponse la mesure d'un angle de la figure

   Thalès est un théorème de LONGUEURS : il donne l'égalité de rapports de longueurs, donc il permet de calculer une longueur manquante dans l'un ou l'autre triangle. Il ne donne jamais la mesure d'un angle (pour cela, on utilise la trigonométrie ou la somme des angles du triangle).