La moyenne — 5ᵉ

En une phrase

Pour résumer plusieurs nombres par un seul, on calcule leur moyenne : on additionne toutes les valeurs, puis on divise par le nombre de valeurs. La moyenne « équilibre » la série : c'est la note que chacun aurait si le total était partagé également.

Comprendre

La moyenne sert à résumer une série de nombres par une seule valeur représentative. Pour la calculer, on additionne toutes les valeurs, puis on divise le résultat par le nombre de valeurs. Prenons quatre notes : 12, 14, 10 et 16. On additionne d'abord : 12 + 14 + 10 + 16 = 52. Comme il y a 4 notes, on divise la somme par 4 : 52 ÷ 4 = 13. La moyenne est donc 13. On peut l'interpréter ainsi : si les quatre notes étaient toutes identiques et donnaient le même total (52), chacune vaudrait 13. Attention à toujours diviser par le NOMBRE de valeurs, et non par un autre nombre.

Quand une même valeur se répète, on peut utiliser les effectifs pour aller plus vite : c'est la moyenne PONDÉRÉE. Le programme de Cinquième ne demande que la moyenne SIMPLE ; la moyenne pondérée est un objectif de Quatrième, découvert ici EN AVANCE — c'est un raccourci d'écriture, le calcul reste celui de la moyenne simple de la série complète. Par exemple, si 3 élèves ont eu 10 et 2 élèves ont eu 15, la somme de toutes les notes est 3 × 10 + 2 × 15 = 30 + 30 = 60, et il y a 3 + 2 = 5 élèves ; la moyenne est 60 ÷ 5 = 12. Chaque valeur est alors comptée autant de fois que son effectif.

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

Le cours

La moyenne d'une série statistique est un indicateur qui résume l'ensemble des valeurs par un seul nombre. On la calcule en additionnant toutes les valeurs de la série, puis en divisant cette somme par le nombre de valeurs. Exemple : pour les notes 12, 14, 10 et 16, la somme vaut 12 + 14 + 10 + 16 = 52 ; il y a 4 valeurs, donc la moyenne est 52 ÷ 4 = 13. Il est essentiel de diviser par le nombre de valeurs : diviser par un autre nombre donne un résultat faux.

Lorsqu'une valeur apparaît plusieurs fois, on peut écrire ce même calcul plus vite en utilisant les effectifs : chaque valeur est multipliée par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total. C'est la moyenne dite PONDÉRÉE — un objectif de Quatrième, anticipé ici : en Cinquième, seule la moyenne simple est exigée, et la moyenne pondérée n'en est qu'une écriture abrégée. Exemple : 3 élèves ont 10 et 2 élèves ont 15. La somme des notes est 3 × 10 + 2 × 15 = 30 + 30 = 60 ; l'effectif total est 3 + 2 = 5 ; la moyenne est 60 ÷ 5 = 12. La moyenne se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur de la série, et elle permet de comparer des séries entre elles.

Elle sera complétée en 4e et 3e par d'autres indicateurs comme la médiane et l'étendue.

Les erreurs fréquentes

On divise la somme par 2 au lieu du nombre de valeurs : (8 + 10 + 12) ÷ 2 = 15.

Il faut diviser par le nombre de valeurs (ici 3) : (8 + 10 + 12) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10.

Pour une moyenne pondérée, on oublie les effectifs : (10 + 15) ÷ 2 = 12,5.

Chaque valeur compte autant de fois que son effectif : (3 × 10 + 2 × 15) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer la moyenne d'une série (somme des valeurs ÷ nombre de valeurs).
• Diviser par le nombre exact de valeurs de la série.
• Calculer une moyenne pondérée en tenant compte des effectifs (anticipation de la Quatrième).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la moyenne des notes 12, 14, 10 et 16 ?

   Réponse 13

   Moyenne = (12 + 14 + 10 + 16) ÷ 4 = 52 ÷ 4 = 13. Le nombre 52 est la somme, pas la moyenne.

2. Dans une classe, 3 élèves ont eu 10 et 2 élèves ont eu 15. Quelle est la moyenne de la classe ?

   Réponse 12

   La série complète est 10 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 : sa moyenne vaut (10 + 10 + 10 + 15 + 15) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12. On peut écrire ce calcul plus vite en groupant les valeurs égales : (3 × 10 + 2 × 15) ÷ 5 — c'est la moyenne dite PONDÉRÉE, qui sera nommée et travaillée en Quatrième.

3. Un joueur a marqué 6, 7, 8 et 15 points lors de quatre matchs. Quelle est sa moyenne de points par match ?

   Réponse 9

   On additionne, puis on divise par le nombre de matchs : (6 + 7 + 8 + 15) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9 points. La somme 36 n'est pas la moyenne, 18 revient à diviser par 2, et 10,5 est la moyenne des deux valeurs extrêmes seulement.