Calculer une probabilité — 5ᵉ

En une phrase

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (un dé équilibré, une urne bien mélangée), calculer une probabilité est simple : on compte les cas qui nous intéressent (les cas favorables) et on divise par le nombre total de cas (les cas possibles). P = cas favorables ÷ cas possibles.

Comprendre

On parle d'équiprobabilité quand toutes les issues d'une expérience aléatoire ont exactement la même chance de se produire. C'est le cas d'un dé équilibré (chaque face a la même chance), d'une pièce équilibrée, ou d'un tirage dans une urne bien mélangée. Dans cette situation, la probabilité d'un événement se calcule très simplement : on compte le nombre de cas favorables (les issues qui réalisent l'événement) et on divise par le nombre de cas possibles (le total des issues).

Autrement dit : P(événement) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles. Exemple avec un dé à six faces : l'événement « obtenir un nombre pair » correspond aux faces 2, 4 et 6, soit 3 cas favorables sur 6 cas possibles. Donc P(pair) = 3/6, que l'on peut simplifier en 1/2. Autre exemple : une urne contient 4 boules rouges et 6 boules d'une autre couleur, soit 10 boules en tout.

L'événement « tirer une rouge » a 4 cas favorables sur 10 cas possibles : P(rouge) = 4/10 = 2/5. On veille à bien identifier les cas favorables et les cas possibles, et on peut simplifier la fraction obtenue. Le résultat est toujours un nombre compris entre 0 et 1, cohérent avec l'échelle des probabilités.

Le cours

Une expérience est en situation d'équiprobabilité lorsque toutes ses issues ont la même chance de se produire : dé équilibré, pièce équilibrée, tirage au hasard dans une urne bien mélangée. Dans ce cas, on calcule la probabilité d'un événement avec la formule : P(événement) = (nombre de cas favorables) ÷ (nombre de cas possibles). Les cas favorables sont les issues qui réalisent l'événement ; les cas possibles sont toutes les issues de l'expérience.

Exemple 1 : on lance un dé à six faces équilibré et on s'intéresse à « obtenir un nombre pair ». Les cas favorables sont 2, 4 et 6 (3 cas) ; les cas possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 cas). Donc P(pair) = 3/6 = 1/2. Exemple 2 : une urne contient 4 boules rouges parmi 10 boules au total.

Pour « tirer une rouge », il y a 4 cas favorables et 10 cas possibles : P(rouge) = 4/10 = 2/5. On peut toujours simplifier la fraction obtenue. La probabilité ainsi calculée est comprise entre 0 et 1 : elle vaut 0 si aucun cas n'est favorable (événement impossible) et 1 si tous les cas le sont (événement certain). Cette méthode ne s'applique que si les issues sont équiprobables ; sinon (dé pipé, pièce truquée), elle n'est plus valable.

Les erreurs fréquentes

On divise les cas possibles par les cas favorables : P(pair) = 6/3 = 2.

La formule est cas favorables ÷ cas possibles : P(pair) = 3/6 = 1/2. Une probabilité ne dépasse jamais 1.

On oublie de compter tous les cas possibles : pour l'urne, on écrit P(rouge) = 4/6.

Les cas possibles sont TOUTES les boules, soit 10 : P(rouge) = 4/10 = 2/5, pas 4/6.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une situation d'équiprobabilité (dé équilibré, urne bien mélangée).
• Appliquer P(événement) = cas favorables ÷ cas possibles.
• Dénombrer correctement les cas favorables et les cas possibles, et simplifier la fraction.

Vérifie que tu as compris

1. On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

   Réponse 1/2

   Nombres pairs : {2 ; 4 ; 6} = 3 cas favorables sur 6 possibles, donc P = 3/6 = 1/2.

2. Une urne contient 4 boules rouges sur 10 boules au total. Quelle est la probabilité de tirer une rouge ?

   Réponse 2/5

   P(rouge) = cas favorables ÷ cas possibles = 4/10 = 2/5.

3. Une roue de loterie équilibrée est partagée en 8 secteurs identiques, dont 3 sont gagnants. Quelle est la probabilité de gagner ?

   Réponse 3/8

   Les secteurs étant identiques, on applique P = cas favorables ÷ cas possibles = 3 ÷ 8, soit 3/8. Diviser par les 5 secteurs perdants (3/5) revient à oublier que les cas possibles sont TOUS les secteurs, et 8/3 inverse la division (une probabilité ne dépasse jamais 1).