Fractions égales et simplification

En une phrase

Une même fraction peut s'écrire de plusieurs façons : 2/4, 1/2 et 3/6 désignent la même quantité. Pour simplifier une fraction, tu divises le numérateur (en haut) ET le dénominateur (en bas) par un même nombre. Quand tu ne peux plus diviser, la fraction est dite irréductible.

Comprendre

Le numérateur, c'est le nombre du haut ; le dénominateur, celui du bas. Une même quantité peut s'écrire avec plusieurs fractions différentes : c'est ce qu'on appelle des fractions égales. Par exemple, 2/4 et 1/2 représentent exactement la même part d'un tout : si tu coupes une barre en 4 et que tu en prends 2, c'est pareil que couper la barre en 2 et en prendre 1. On passe de 2/4 à 1/2 en divisant le numérateur ET le dénominateur par le même nombre : 2 ÷ 2 = 1 et 4 ÷ 2 = 2, donc 2/4 = 1/2. De même 3/6 = 1/2 (on divise par 3).

Diviser le haut et le bas par un même nombre s'appelle SIMPLIFIER la fraction : la valeur ne change pas, seule l'écriture devient plus simple. Autre exemple : 6/8. Le numérateur 6 et le dénominateur 8 sont tous les deux divisibles par 2, donc 6/8 = 3/4 (6 ÷ 2 = 3, 8 ÷ 2 = 4). Une fraction qu'on ne peut plus simplifier — parce que le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun — est dite IRRÉDUCTIBLE : 3/4, 1/2 et 2/3 sont irréductibles.

Attention à l'erreur la plus fréquente : on SIMPLIFIE en DIVISANT, jamais en soustrayant. Écrire 6/8 = 5/7 en enlevant 1 en haut et 1 en bas est faux ; il faut diviser (6/8 = 3/4). Attention aussi à agir sur les DEUX à la fois : diviser seulement le numérateur change la valeur.

Le cours

Une fraction est un couple de nombres : le numérateur (au-dessus de la barre) et le dénominateur (au-dessous). Plusieurs fractions différentes peuvent représenter la même valeur : on dit alors qu'elles sont égales. On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant, ou en divisant, son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul.

Ainsi 1/2 = 2/4 = 3/6 : on multiplie le haut et le bas par 2, puis par 3. Réciproquement, diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre s'appelle simplifier la fraction. Par exemple 6/8 = 3/4, car 6 ÷ 2 = 3 et 8 ÷ 2 = 4 ; la quantité représentée est inchangée, l'écriture est seulement plus simple. Lorsqu'il n'existe plus aucun nombre (autre que 1) qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur, la fraction est dite irréductible : 3/4, 2/3 ou 1/2 en sont des exemples.

Deux erreurs sont à éviter absolument. La première consiste à simplifier en soustrayant un même nombre en haut et en bas (6/8 deviendrait 5/7) : c'est faux, on doit DIVISER, pas soustraire. La seconde consiste à ne diviser qu'un seul des deux termes : il faut toujours diviser le numérateur ET le dénominateur par le même nombre.

Savoir reconnaître des fractions égales et simplifier est indispensable pour comparer des fractions et pour les additionner. Cela permet aussi d'écrire un même nombre sous plusieurs formes : 1,2 = 12/10 = 6/5 = 1 + 1/5 = 120 %. Et lorsque le numérateur dépasse le dénominateur, on peut extraire la partie entière : 17/5 = 15/5 + 2/5 = 3 + 2/5, c'est-à-dire trois unités et deux cinquièmes.

Remarque de programme : en Cinquième, le programme demande de RECONNAÎTRE des fractions égales et de passer de l'une à l'autre ; les mots « simplifier » (Quatrième) et « irréductible » (Troisième) sont employés ici en avance, comme un raccourci commode.

Les erreurs fréquentes

On simplifie en soustrayant le même nombre en haut et en bas : 6/8 = 5/7.

Simplifier, c'est DIVISER, pas soustraire : 6 ÷ 2 = 3 et 8 ÷ 2 = 4, donc 6/8 = 3/4.

On ne divise qu'un seul terme : 6/8 = 3/8 (on a divisé le numérateur seulement).

On divise le numérateur ET le dénominateur par le même nombre : 6 ÷ 2 = 3 et 8 ÷ 2 = 4, donc 6/8 = 3/4.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître que 2/4, 1/2 et 3/6 représentent la même fraction, et l'expliquer par une multiplication/division du haut et du bas.
• Simplifier une fraction comme 6/8 en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre (= 3/4).
• Reconnaître qu'une fraction comme 3/4 est irréductible (plus aucun diviseur commun).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la forme simplifiée de la fraction 6/8 ?

   Réponse 3/4

   On divise le numérateur et le dénominateur par 2 : 6 ÷ 2 = 3 et 8 ÷ 2 = 4, donc 6/8 = 3/4 (on ne simplifie jamais en soustrayant, ce qui donnerait 5/7).

2. Quelle est la forme irréductible de la fraction 10/15 ?

   Réponse 2/3

   10 et 15 sont divisibles par 5 : 10 ÷ 5 = 2 et 15 ÷ 5 = 3, donc 10/15 = 2/3, qu'on ne peut plus simplifier — on dit qu'elle est irréductible. (Le mot « irréductible » appartient au programme de Troisième : tu le rencontres ici en avance.)

3. Par quel nombre faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur de 3/5 pour obtenir 12/20 ?

   Réponse 4

   On cherche le nombre qui transforme 5 en 20 : 5 × 4 = 20. Il faut faire la même opération en haut : 3 × 4 = 12. On obtient bien 3/5 = 12/20.