Additionner à même dénominateur

En une phrase

Quand deux fractions ont le même dénominateur, tu ajoutes (ou tu enlèves) seulement les numérateurs, et tu gardes le dénominateur tel quel : 2/5 + 1/5 = 3/5. Surtout, le dénominateur ne change pas !

Comprendre

Quand deux fractions ont le MÊME dénominateur, leurs parts sont de la même taille : on peut donc les compter ensemble. Pour additionner, on additionne les numérateurs et on GARDE le dénominateur. Par exemple 2/5 + 1/5 : on a 2 cinquièmes plus 1 cinquième, soit 3 cinquièmes, donc 2/5 + 1/5 = 3/5. Imagine une barre coupée en 5 parts égales : tu en colories 2, puis 1 de plus ; au total 3 parts sur 5, c'est 3/5. La soustraction fonctionne pareil : on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

Par exemple 5/7 − 2/7 = 3/7 (5 septièmes moins 2 septièmes, il reste 3 septièmes). L'erreur la plus fréquente est d'additionner aussi les dénominateurs : écrire 2/5 + 1/5 = 3/10 est FAUX. Le dénominateur indique la taille des parts ; il ne change pas quand on ajoute des parts de même taille.

On garde toujours le dénominateur commun : 2/5 + 1/5 = 3/5, et non 3/10. Cette règle ne s'applique que si les dénominateurs sont déjà les mêmes ; sinon, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (concept suivant).

Le cours

Additionner ou soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur est direct : on opère sur les numérateurs et on conserve le dénominateur commun. Pour l'addition : 2/5 + 1/5 = (2 + 1)/5 = 3/5. Pour la soustraction : 5/7 − 2/7 = (5 − 2)/7 = 3/7. L'interprétation est simple : le dénominateur donne la taille des parts (des cinquièmes, des septièmes…) et le numérateur en compte le nombre. Ajouter 2 cinquièmes et 1 cinquième donne 3 cinquièmes, car on additionne des parts identiques : leur nombre s'ajoute, leur taille ne change pas.

C'est pourquoi le dénominateur reste le même. L'erreur classique consiste à additionner également les dénominateurs (2/5 + 1/5 = 3/10) : c'est faux, car cela reviendrait à changer la taille des parts en cours de calcul. Il faut retenir : à même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.

Cette règle est la base ; lorsque les dénominateurs sont différents mais que l'un est multiple de l'autre, on se ramène d'abord à un dénominateur commun avant d'appliquer cette même règle.

Les erreurs fréquentes

On additionne aussi les dénominateurs : 2/5 + 1/5 = 3/10.

On garde le dénominateur commun et on additionne seulement les numérateurs : 2/5 + 1/5 = 3/5.

Pour la soustraction, on soustrait aussi les dénominateurs : 5/7 − 2/7 = 3/0 (or un dénominateur ne peut JAMAIS valoir 0).

Le dénominateur commun est conservé : 5/7 − 2/7 = (5 − 2)/7 = 3/7.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, à même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
• Calculer 2/5 + 1/5 = 3/5.
• Calculer 5/7 − 2/7 = 3/7.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 2/5 + 1/5 ?

   Réponse 3/5

   À même dénominateur, on additionne les numérateurs (2 + 1 = 3) et on garde le dénominateur : 2/5 + 1/5 = 3/5 (et non 3/10).

2. Combien font 5/7 − 2/7 ?

   Réponse 3/7

   À même dénominateur, on soustrait les numérateurs (5 − 2 = 3) et on garde le dénominateur 7 : 5/7 − 2/7 = 3/7 (on ne touche pas au dénominateur).

3. Dans un sondage, 4/15 des élèves choisissent le football et 7/15 le basket. Quelle fraction des élèves a choisi l'un de ces deux sports ?

   Réponse 11/15

   Les dénominateurs sont identiques : on additionne les numérateurs (4 + 7 = 11) et on garde 15. Le dénominateur ne s'additionne pas (11/30) et ne se multiplie pas (11/225).