Additionner à dénominateurs multiples

En une phrase

Si les dénominateurs sont différents mais que l'un est dans la table de l'autre (par exemple 2 et 4), tu transformes la fraction au petit dénominateur pour qu'elle ait le grand dénominateur : 1/2 = 2/4. Ensuite, comme les dénominateurs sont les mêmes, tu additionnes les numérateurs : 2/4 + 1/4 = 3/4.

Comprendre

On ne peut additionner des fractions que si elles ont le même dénominateur (des parts de même taille). Quand ce n'est pas le cas mais que l'un des dénominateurs est un MULTIPLE de l'autre, c'est facile : on choisit le plus grand comme dénominateur commun. Prenons 1/2 + 1/4. Ici 4 est un multiple de 2 (4 = 2 × 2), donc on transforme 1/2 pour qu'elle ait 4 au dénominateur : 1/2 = 2/4 (on multiplie le haut et le bas par 2).

Le calcul devient 2/4 + 1/4, deux fractions de même dénominateur : on additionne les numérateurs, 2 + 1 = 3, et on garde le 4, soit 3/4. On peut le voir sur une barre : une moitié (1/2), redécoupée, vaut deux quarts (2/4) ; en ajoutant encore un quart, on obtient trois quarts (3/4). La soustraction suit la même méthode. Pour 5/6 − 1/3 : 6 est un multiple de 3, donc on écrit 1/3 = 2/6 (× 2).

Le calcul devient 5/6 − 2/6 = 3/6, que l'on simplifie en 1/2. L'erreur classique est d'additionner directement les numérateurs et les dénominateurs sans mettre au même dénominateur : 1/2 + 1/4 = 2/6 est FAUX. Il faut d'abord le même dénominateur : 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.

Le cours

Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. Le cas le plus simple, étudié ici, est celui où l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre : le dénominateur commun est alors le plus grand des deux. Exemple d'addition : 1/2 + 1/4. Comme 4 = 2 × 2, on transforme 1/2 en quarts : 1/2 = 2/4 (numérateur et dénominateur multipliés par 2).

Le calcul devient 2/4 + 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4. Exemple de soustraction : 5/6 − 1/3. Comme 6 = 3 × 2, on écrit 1/3 = 2/6, puis 5/6 − 2/6 = (5 − 2)/6 = 3/6 ; on simplifie ce résultat : 3/6 = 1/2. Deux étapes sont donc essentielles : (1) repérer que l'un des dénominateurs est multiple de l'autre et convertir la fraction concernée ; (2) appliquer la règle des fractions de même dénominateur (opérer sur les numérateurs, garder le dénominateur). L'erreur la plus fréquente est d'additionner « en ligne » les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux (1/2 + 1/4 = 2/6) : c'est faux, car les parts n'ont pas la même taille tant qu'on n'a pas mis au même dénominateur. Une fois le résultat obtenu, on pense à le simplifier lorsque c'est possible.

Et si aucun des deux dénominateurs n'est multiple de l'autre, on peut toujours prendre leur PRODUIT comme dénominateur commun : pour 2/5 + 1/4, on écrit 2/5 = 8/20 et 1/4 = 5/20, d'où 2/5 + 1/4 = 13/20.

Les erreurs fréquentes

On additionne numérateurs et dénominateurs sans mettre au même dénominateur : 1/2 + 1/4 = 2/6.

On convertit d'abord : 1/2 = 2/4, puis 2/4 + 1/4 = 3/4. On n'additionne jamais les dénominateurs.

On oublie de convertir la fraction et on calcule 5/6 − 1/3 = 4/3.

6 est multiple de 3 : on écrit 1/3 = 2/6, puis 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître que l'un des dénominateurs est multiple de l'autre et convertir la fraction (1/2 = 2/4).
• Calculer 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.
• Calculer 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 (en simplifiant le résultat).

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 1/2 + 1/4 ?

   Réponse 3/4

   4 est multiple de 2 : on écrit 1/2 = 2/4, puis 2/4 + 1/4 = 3/4 (on met au même dénominateur avant d'additionner, ce n'est pas 2/6).

2. Combien font 5/6 − 1/3 ?

   Réponse 1/2

   6 est multiple de 3 : 1/3 = 2/6, puis 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 (on simplifie le résultat).

3. Un coureur a parcouru 1/4 de son trajet en marchant, puis 3/8 en trottinant. Quelle fraction du trajet a-t-il déjà parcourue ?

   Réponse 5/8

   8 est un multiple de 4 : on convertit 1/4 = 2/8, puis 2/8 + 3/8 = 5/8. Sans cette conversion on obtiendrait 4/12 ou 4/8, qui sont faux.