Décomposition en produit de facteurs premiers

L'essentiel

Un FACTEUR PREMIER est un nombre entier qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13… DÉCOMPOSER un entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire uniquement comme un produit de tels nombres. On procède par DIVISIONS SUCCESSIVES : on divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, puis par 7… jusqu'à arriver à 1. Exemple avec 60 : 60 ÷ 2 = 30 ; 30 ÷ 2 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1. On a utilisé 2, 2, 3, 5, donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5. On regroupe les facteurs identiques avec une puissance : 60 = 2² × 3 × 5. On peut toujours vérifier en refaisant le produit : 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 15 = 60. Autre exemple : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Cette écriture est l'outil clé pour simplifier une fraction : elle montre d'un coup d'œil les facteurs que le numérateur et le dénominateur ont en commun.

Comprendre

Un facteur premier n'a que deux diviseurs (1 et lui-même) : 2, 3, 5, 7, 11… Décomposer un entier, c'est l'écrire comme un produit de ces briques, obtenu par DIVISIONS SUCCESSIVES par les premiers dans l'ordre : 2, 3, 5, 7… Pour 60 : 60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1, donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. On vérifie : 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Deux pièges. D'abord, s'arrêter sur une écriture non première (60 = 6 × 10) : ni 6 ni 10 ne sont premiers, il faut continuer (6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5). Ensuite, oublier les facteurs répétés : 60 possède DEUX facteurs 2, donc 2² et non un seul 2 (2 × 3 × 5 = 30 ≠ 60).

La décomposition sert directement à simplifier : pour 24/60, décomposer 24 = 2³ × 3 et 60 = 2² × 3 × 5 fait apparaître le facteur commun 2² × 3 = 12, qui simplifie la fraction.

Le cours

FACTEURS PREMIERS. Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… (1 n'est pas premier, il n'a qu'un seul diviseur).

DÉCOMPOSER un entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire comme un produit de tels nombres. LA MÉTHODE DES DIVISIONS SUCCESSIVES. On divise l'entier par le plus petit premier possible (2), autant de fois que possible, puis par 3, puis par 5, puis par 7… jusqu'à obtenir 1. EXEMPLE : 60. 60 ÷ 2 = 30 ; 30 ÷ 2 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1. Les facteurs utilisés sont 2, 2, 3, 5 : donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5. On regroupe les facteurs égaux sous forme de puissances : 60 = 2² × 3 × 5. VÉRIFICATION : 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60. AUTRE EXEMPLE : 84. 84 ÷ 2 = 42 ; 42 ÷ 2 = 21 ; 21 ÷ 3 = 7 ; 7 ÷ 7 = 1 : donc 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. À QUOI ÇA SERT.

La décomposition est l'outil pour simplifier des fractions : elle fait apparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Ainsi 24 = 2³ × 3 et 60 = 2² × 3 × 5 partagent 2² × 3 = 12, ce qui donnera 24/60 = 2/5. DEUX ERREURS À ÉVITER. Ne pas s'arrêter sur 60 = 6 × 10 (6 et 10 ne sont pas premiers) ; ne pas oublier de compter les facteurs répétés (60 a deux fois le facteur 2, d'où 2²).

À RETENIR : (1) un facteur premier n'a que 1 et lui-même comme diviseurs ; (2) on décompose par divisions successives par 2, 3, 5, 7… ; (3) on écrit le résultat avec des puissances et on l'utilise pour simplifier.

Les erreurs fréquentes

On s'arrête sur une écriture non première, comme 60 = 6 × 10.

6 et 10 ne sont pas premiers. On continue : 6 = 2 × 3 et 10 = 2 × 5, donc 60 = 2 × 3 × 2 × 5 = 2² × 3 × 5.

On oublie de compter les facteurs répétés (écrire 60 = 2 × 3 × 5).

60 contient DEUX facteurs 2, il faut donc écrire 2² × 3 × 5. Vérification : 2 × 3 × 5 = 30 ≠ 60, alors que 2² × 3 × 5 = 60.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître un facteur premier (2, 3, 5, 7…) et savoir que 1 n'est pas premier.
• Décomposer un entier par divisions successives (60 = 2 × 2 × 3 × 5).
• Écrire la décomposition avec des puissances (60 = 2² × 3 × 5) et vérifier le produit.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la décomposition de 60 en produit de facteurs premiers ?

   Réponse 2² × 3 × 5

   60 ÷ 2 = 30 ; 30 ÷ 2 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1, donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. 2 × 3 × 5 = 30 (un facteur 2 oublié) ; 15 et 4 ne sont pas premiers.

2. Le nombre 96 se décompose en 2⁵ × 3. Quelle est alors la décomposition de 2 × 96 ?

   Réponse 2⁶ × 3

   2 × 96 = 2 × (2⁵ × 3) = 2¹⁺⁵ × 3 = 2⁶ × 3, c'est-à-dire 64 × 3 = 192. Multiplier par 2 ajoute UN facteur 2, donc on ajoute 1 à l'exposant. « 2⁵ × 6 » n'est pas une décomposition en facteurs premiers puisque 6 = 2 × 3 n'est pas premier, et doubler l'exposant (2¹⁰) reviendrait à multiplier par 2⁵ = 32, pas par 2.

3. Un nombre se décompose en 2³ × 5. De quel nombre s'agit-il ?

   Réponse 40

   2³ = 2 × 2 × 2 = 8, donc 2³ × 5 = 8 × 5 = 40. L'exposant 3 indique COMBIEN DE FOIS le facteur 2 apparaît : il ne se lit pas 2 × 3 (ce qui donnerait 2 × 3 × 5 = 30) et il ne s'additionne pas (8 + 5 = 13). Quant à 2³ × 3, il vaudrait 24.