Les ensembles de nombres ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ

L'essentiel

On range les nombres dans quatre ensembles EMBOÎTÉS les uns dans les autres. ℕ, les entiers naturels : 0, 1, 2, 3… (les nombres pour compter). ℤ, les entiers relatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2… (on ajoute les négatifs). 𝔻, les nombres décimaux : ceux qui ont une écriture décimale qui S'ARRÊTE, comme 3,25 (= 325/100) ou 0,75. ℚ, les nombres rationnels : tous les quotients de deux entiers a/b (avec b non nul). Chaque ensemble est contenu dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ. Un entier naturel est aussi un entier relatif, qui est aussi un décimal, qui est aussi un rationnel.

ATTENTION : toutes les fractions ne sont pas décimales. 1/3 = 0,333… ne s'arrête jamais : ce n'est PAS un nombre décimal, mais c'est bien un nombre rationnel (le quotient de 1 par 3). Pour CLASSER un nombre, on cherche le PLUS PETIT ensemble qui le contient : 7 ∈ ℕ ; −5 ∈ ℤ (il est négatif, donc pas dans ℕ) ; 0,75 ∈ 𝔻 (décimal, pas entier) ; 2/3 ∈ ℚ (rationnel non décimal).

Comprendre

Quatre ensembles emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ. ℕ = entiers naturels (0, 1, 2…) ; ℤ = entiers relatifs (on ajoute les négatifs) ; 𝔻 = décimaux (écriture décimale FINIE, ex. 3,25 = 325/100) ; ℚ = rationnels (quotient de deux entiers a/b, b ≠ 0). L'inclusion signifie que tout élément d'un ensemble appartient aussi au suivant : un entier est un décimal particulier (5 = 5,0), un décimal est un rationnel particulier (3,25 = 325/100). LE POINT DÉLICAT : un rationnel n'est pas toujours décimal. 1/3 = 0,333… a une écriture décimale infinie, donc 1/3 ∈ ℚ mais 1/3 ∉ 𝔻.

Un décimal, lui, a une écriture qui s'arrête. POUR CLASSER un nombre, on prend le plus PETIT ensemble qui le contient : 7 ∈ ℕ ; −5 ∈ ℤ (négatif, hors de ℕ) ; 0,75 ∈ 𝔻 (= 3/4, décimal non entier) ; 2/3 ∈ ℚ (rationnel non décimal). Piège : croire que toute fraction est décimale, ou ranger un nombre dans un ensemble trop grand.

Cette classification structure tout ce que l'élève a rencontré depuis la 5e (relatifs, fractions, décimaux).

Le cours

LES ENSEMBLES DE NOMBRES. Au fil du collège, on a rencontré de plus en plus de nombres. On les range dans quatre ensembles emboîtés. ℕ — LES ENTIERS NATURELS : 0, 1, 2, 3, 4… Ce sont les nombres qui servent à compter. ℤ — LES ENTIERS RELATIFS : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… On ajoute aux naturels leurs opposés négatifs. 𝔻 — LES NOMBRES DÉCIMAUX : ceux dont l'écriture décimale est FINIE (elle s'arrête), comme 3,25 ou 0,75. Un décimal peut toujours s'écrire comme une fraction de dénominateur 10, 100, 1000… : 3,25 = 325/100. ℚ — LES NOMBRES RATIONNELS : tous les nombres qui s'écrivent comme un quotient de deux entiers a/b (avec b ≠ 0), c'est-à-dire toutes les fractions.

LES INCLUSIONS : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ. Chaque ensemble est contenu dans le suivant : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal (5 = 5,0), tout décimal est un rationnel (3,25 = 325/100). UN CAS IMPORTANT : 1/3. En posant la division, 1 ÷ 3 = 0,333… ne s'arrête jamais.

Donc 1/3 N'EST PAS un nombre décimal, mais il reste un nombre rationnel (c'est le quotient des entiers 1 et 3) : 1/3 ∈ ℚ mais 1/3 ∉ 𝔻. CLASSER UN NOMBRE, c'est le placer dans le plus PETIT ensemble qui le contient : 7 ∈ ℕ ; −5 ∈ ℤ (négatif, donc pas naturel) ; 0,75 ∈ 𝔻 (décimal, = 3/4, mais pas entier) ; 2/3 ∈ ℚ (rationnel, mais pas décimal car 0,666…). À RETENIR : (1) ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ; (2) un décimal a une écriture qui s'arrête, un rationnel est un quotient d'entiers ; (3) 1/3 est rationnel mais pas décimal ; (4) on classe dans le plus petit ensemble qui contient le nombre.

Les erreurs fréquentes

On croit que toute fraction est un nombre décimal (1/3 = 0,33).

1/3 = 0,333… ne s'arrête jamais : ce n'est PAS un décimal. Mais c'est un rationnel (quotient de 1 et 3). Un décimal a une écriture décimale FINIE, comme 3,25.

On range un nombre dans un ensemble trop grand (dire simplement −5 ∈ ℚ).

On classe un nombre dans le plus PETIT ensemble qui le contient. −5 est un entier relatif : −5 ∈ ℤ (et il est aussi dans 𝔻 et ℚ, mais pas dans ℕ car négatif).

Tu maîtrises la notion si…

• Ranger les ensembles ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ et donner un exemple de nombre de chacun.
• Justifier qu'un rationnel comme 1/3 n'est pas décimal (écriture 0,333… infinie).
• Classer un nombre dans le plus petit ensemble qui le contient (−5 ∈ ℤ, 0,75 ∈ 𝔻, 2/3 ∈ ℚ, 7 ∈ ℕ).

Vérifie que tu as compris

1. Dans quel plus petit ensemble le nombre −5 se classe-t-il ?

   Réponse ℤ (entiers relatifs)

   −5 est un entier négatif : il n'est pas dans ℕ (pas de négatifs), mais c'est un entier relatif, donc le plus petit ensemble qui le contient est ℤ. Il appartient aussi à 𝔻 et ℚ, mais ℤ est le plus petit.

2. Quel nombre est rationnel mais PAS décimal ?

   Réponse 1/3

   1/3 = 0,333… a une écriture décimale infinie : c'est un rationnel (quotient de 1 et 3) mais pas un décimal. 0,75, 3,25 et 7 ont, eux, une écriture décimale finie, donc ils sont décimaux.

3. Quelle affirmation sur les ensembles de nombres est vraie ?

   Réponse tout entier naturel est aussi un entier relatif

   Les ensembles sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ. Ainsi 7, qui est dans ℕ, est aussi dans ℤ. L'inclusion ne fonctionne que dans ce sens : −3 est un entier relatif mais pas un entier naturel, 1/3 est rationnel sans être décimal, et 0,75 est décimal sans être entier.