Diviseurs communs à deux entiers

L'essentiel

Un DIVISEUR COMMUN à deux entiers est un nombre qui divise le premier ET le second. Pour les trouver, on liste d'abord les diviseurs de chacun, puis on garde ceux qui apparaissent dans les DEUX listes. Exemple avec 24 et 36 : les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ; ceux de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Les nombres présents dans les deux listes sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : ce sont les diviseurs communs.

Le PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN est le plus grand d'entre eux, ici 12. Ce plus grand diviseur commun est très utile : il permet de simplifier une fraction en UNE SEULE étape (on divisera plus tard 24/36 par 12). Attention : on cherche un diviseur commun aux DEUX nombres ; le plus grand diviseur de 24 tout seul est 24, mais 24 ne divise pas 36, donc ce n'est pas un diviseur commun.

Comprendre

Un diviseur commun à a et b divise a ET b. MÉTHODE : (1) lister les diviseurs de a ; (2) lister les diviseurs de b ; (3) garder l'intersection (ceux qui sont dans les deux listes) ; (4) le plus grand de l'intersection est le PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN. Exemple : 24 → {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} et 36 → {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

Intersection : {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Plus grand diviseur commun : 12. Deux pièges. D'abord, ne pas prendre le plus grand diviseur d'UN SEUL nombre (24 pour 24) : il faut qu'il divise aussi l'autre (24 ne divise pas 36).

Ensuite, ne pas confondre avec un multiple commun : 72 est un multiple commun à 24 et 36, mais on cherche ici un DIVISEUR, donc un nombre plus petit ou égal aux deux. Ce plus grand diviseur commun est l'outil direct pour rendre une fraction irréductible en une seule division.

Le cours

DIVISEURS COMMUNS. Un entier est un diviseur commun à deux entiers a et b s'il divise a et s'il divise b. Pour tous les trouver, on liste les diviseurs de a, puis ceux de b, et on retient les nombres présents dans les DEUX listes.

EXEMPLE DE RÉFÉRENCE. Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Les nombres communs aux deux listes sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : voilà les diviseurs communs à 24 et 36. LE PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN. Parmi ces diviseurs communs, le plus grand est 12 : on l'appelle le plus grand diviseur commun de 24 et 36. Il y a toujours au moins un diviseur commun (le nombre 1 divise tout entier), et il en existe un plus grand que tous les autres.

POURQUOI C'EST UTILE. Le plus grand diviseur commun sert à simplifier une fraction d'un seul coup : comme 12 divise à la fois 24 et 36, on pourra écrire 24/36 = 2/3 en divisant le haut et le bas par 12. DEUX ERREURS À ÉVITER. On ne prend pas le plus grand diviseur d'un seul des deux nombres (24 divise 24 mais pas 36).

Et on ne confond pas avec un multiple commun (72 est un multiple de 24 et de 36, mais c'est un multiple, pas un diviseur). À RETENIR : (1) un diviseur commun divise les deux nombres ; (2) on l'obtient en croisant les deux listes de diviseurs ; (3) le plus grand diviseur commun servira à rendre une fraction irréductible.

Les erreurs fréquentes

On prend le plus grand diviseur d'un seul nombre (24 pour 24 et 36).

Un diviseur commun doit diviser LES DEUX nombres. 24 divise 24 mais pas 36 : le plus grand diviseur commun à 24 et 36 est 12, pas 24.

On confond diviseur commun et multiple commun (répondre 72).

72 est un MULTIPLE commun à 24 et 36. Un diviseur commun est un nombre qui les divise, donc plus petit ou égal aux deux : le plus grand est 12.

On oublie des diviseurs communs (ne trouver que 1, 2, 3).

Il faut d'abord lister TOUS les diviseurs de chaque nombre, puis croiser : la liste complète des communs à 24 et 36 est 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Tu maîtrises la notion si…

• Déterminer la liste des diviseurs communs à deux entiers en croisant leurs diviseurs.
• Identifier le plus grand diviseur commun (24 et 36 : plus grand diviseur commun = 12).
• Relier ce plus grand diviseur commun à la simplification d'une fraction en une seule étape.

Vérifie que tu as compris

1. Quel est le plus grand diviseur commun à 24 et 36 ?

   Réponse 12

   Les diviseurs communs à 24 et 36 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ; le plus grand est 12. 24 ne divise pas 36, et 72 est un multiple commun, pas un diviseur.

2. Quels sont les diviseurs communs à 18 et 24 ?

   Réponse 1, 2, 3, 6

   Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Les nombres présents dans les deux listes sont 1, 2, 3 et 6 (4 divise 24 mais pas 18 ; 9 divise 18 mais pas 24).

3. Un fleuriste a 30 roses et 42 tulipes et veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ?

   Réponse 6

   Le nombre de bouquets doit diviser à la fois 30 et 42. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6 : le plus grand est 6. Chaque bouquet contient alors 30 ÷ 6 = 5 roses et 42 ÷ 6 = 7 tulipes. 2 et 3 conviennent aussi mais ne sont pas le maximum ; 210 est un multiple commun, pas un diviseur.