Multiples et diviseurs

L'essentiel

« a divise b » signifie que b est un MULTIPLE de a : il existe un entier k tel que b = a × k, autrement dit la division b ÷ a tombe juste (le reste est 0). On dit aussi que a est un DIVISEUR de b. Exemple : 3 divise 12 car 12 = 3 × 4 ; donc 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12. Pour LISTER tous les diviseurs d'un nombre, on les cherche par paires : pour 12, on essaie 1 (1 × 12), 2 (2 × 6), 3 (3 × 4)… ce qui donne 1, 2, 3, 4, 6, 12. On n'oublie jamais 1 et le nombre lui-même.

Pour tester rapidement une divisibilité SANS poser la division, on utilise les CRITÈRES : un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) ; par 5 s'il finit par 0 ou 5 ; par 10 s'il finit par 0 (rappel de l'école élémentaire : le BO 2026 ne cite que 2, 3, 5 et 9) ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple pour 51 : 5 + 1 = 6, et 6 est divisible par 3, donc 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17) — même si 51 est impair, ce qui ne concerne que la divisibilité par 2.

Comprendre

MULTIPLE ou DIVISEUR ? « a divise b » ⟺ b = a × k avec k entier ⟺ b ÷ a a un reste nul. Alors b est un multiple de a et a est un diviseur de b. Démarche pour trouver TOUS les diviseurs d'un entier n : on teste 1, 2, 3, 4… ; à chaque diviseur trouvé d, le quotient n ÷ d est aussi un diviseur (les diviseurs vont par paires).

Pour 12 : 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4 → {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Les CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ évitent de poser l'opération : par 2 (chiffre des unités pair), par 5 (finit par 0 ou 5), par 10 (finit par 0 — rappel de l'école élémentaire, le BO 2026 ne cite que 2, 3, 5 et 9), par 3 (somme des chiffres divisible par 3), par 9 (somme des chiffres divisible par 9). Exemple décisif : 51 est-il divisible par 3 ?

On additionne les chiffres : 5 + 1 = 6, divisible par 3, donc OUI (51 = 3 × 17). Piège classique : croire que 51 (impair) n'est pas divisible par 3 — la parité ne concerne que le critère de 2, pas celui de 3. Ces notions sont l'outil de base pour, ensuite, trouver les diviseurs communs à deux nombres et simplifier des fractions.

Le cours

Ce chapitre reprend et prolonge, en 3e, le travail sur la divisibilité. VOCABULAIRE. Pour deux entiers a et b, on dit que « a divise b » (ou que « b est divisible par a ») lorsqu'il existe un entier k tel que b = a × k.

On dit alors que b est un MULTIPLE de a et que a est un DIVISEUR de b. Concrètement, la division de b par a « tombe juste » : son reste est 0. Exemple : 3 divise 12 car 12 = 3 × 4 ; ainsi 12 est un multiple de 3, et 3 est un diviseur de 12. LISTER LES DIVISEURS D'UN ENTIER. On cherche les diviseurs par paires : pour 12, 1 va avec 12 (1 × 12 = 12), 2 avec 6 (2 × 6 = 12), 3 avec 4 (3 × 4 = 12).

Les diviseurs de 12 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12. On n'oublie jamais 1 (qui divise tout entier) ni le nombre lui-même. LES CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ. Ils permettent de conclure sans poser la division : divisible par 2 si le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) ; par 5 s'il finit par 0 ou 5 ; par 10 s'il finit par 0 (rappel de l'école élémentaire : le BO 2026 ne cite que 2, 3, 5 et 9) ; par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3 ; par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9. EXEMPLE. 51 est-il divisible par 3 ? 5 + 1 = 6 ; 6 est divisible par 3, donc 51 l'est aussi (51 = 3 × 17).

Attention : 51 est impair, ce qui montre seulement qu'il n'est pas divisible par 2 — cela n'a rien à voir avec le critère de 3. À RETENIR : (1) a divise b ⟺ b = a × k ⟺ b est un multiple de a ; (2) on liste les diviseurs par paires, sans oublier 1 et le nombre ; (3) les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 — auxquels s'ajoute celui par 10, rappel de l'école élémentaire — donnent la réponse d'un coup d'œil.

Les erreurs fréquentes

On confond multiple et diviseur (« 12 est un diviseur de 3 »).

3 divise 12 car 12 = 3 × 4 : c'est 3 le DIVISEUR et 12 le MULTIPLE. Le diviseur n'est jamais plus grand que le multiple (et il peut lui être égal : 12 divise 12) ; le multiple est obtenu en multipliant.

On croit que 51 n'est pas divisible par 3 parce qu'il est impair.

La parité ne concerne que le critère de 2. Pour 3, on additionne les chiffres : 5 + 1 = 6, divisible par 3, donc 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17).

En listant les diviseurs, on oublie 1 et le nombre lui-même.

1 divise tout entier et tout entier se divise par lui-même : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 (six diviseurs, 1 et 12 compris).

Tu maîtrises la notion si…

• Distinguer multiple et diviseur et traduire « a divise b » par b = a × k.
• Lister tous les diviseurs d'un entier par paires (diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12).
• Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 (plus celui par 10, rappel de l'école élémentaire) pour conclure sans poser la division.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la liste complète des diviseurs de 12 ?

   Réponse 1, 2, 3, 4, 6, 12

   On cherche les diviseurs par paires : 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4. Les diviseurs de 12 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12 (sans oublier 1 et 12).

2. Le nombre 51 est-il divisible par 3 ?

   Réponse Oui : 5 + 1 = 6, divisible par 3

   Le critère de divisibilité par 3 porte sur la somme des chiffres : 5 + 1 = 6, divisible par 3, donc 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17). Être impair ne concerne que la divisibilité par 2.

3. L'égalité 56 = 8 × 7 permet d'affirmer que :

   Réponse 8 est un diviseur de 56

   Écrire 56 = 8 × 7 avec des entiers, c'est dire que la division de 56 par 8 tombe juste : 8 est un DIVISEUR de 56, et 56 est un MULTIPLE de 8 (tout comme 7 est un diviseur de 56). Le diviseur n'est jamais plus grand que le multiple ; le multiple s'obtient en multipliant.