Configuration « papillon » : A entre les parallèles

L'essentiel

La configuration « PAPILLON » est une variante de la configuration de Thalès. Cette fois, le point d'intersection A est situé ENTRE les deux droites parallèles (et non en dehors, comme dans le triangle simple). Sur la première droite, les points M et B sont de part et d'autre de A : l'ordre est M, A, B. Sur la seconde, N et C sont aussi de part et d'autre de A : l'ordre est N, A, C. En reliant les points, on obtient deux triangles, AMN et ABC, qui se rejoignent par la pointe A : leur forme évoque un nœud PAPILLON (ou un sablier).

On dit qu'ils sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET A. Bonne nouvelle : le théorème de Thalès s'applique exactement de la même façon que dans le triangle simple. On a toujours AM/AB = AN/AC = MN/BC, et on calcule une longueur manquante par produit en croix, comme avant. Exemple : dans un papillon avec (MN) ∥ (BC), on donne AM = 3, AB = 6 et AC = 8, et on cherche AN.

On écrit AM/AB = AN/AC, soit 3/6 = AN/8, d'où AN = 3 × 8 ÷ 6 = 4. La seule difficulté du papillon est de bien REPÉRER les points : comme A est au milieu, il faut faire attention à ne pas confondre les deux triangles et à garder le même appariement des sommets homologues (A↔A, M↔B, N↔C) dans chaque rapport — dans un papillon, rien n'impose que AMN soit le plus petit des deux.

Comprendre

La configuration papillon est la seconde forme sous laquelle Thalès apparaît au brevet. Différence avec le triangle simple : le point A est ENTRE les deux parallèles, si bien que M, A, B sont alignés dans cet ordre (A au milieu) et N, A, C aussi. On obtient deux triangles AMN et ABC OPPOSÉS PAR LE SOMMET A (forme de nœud papillon / sablier).

L'essentiel : le théorème fonctionne à l'identique, AM/AB = AN/AC = MN/BC, car les deux triangles restent semblables (mêmes angles : les angles en A sont opposés par le sommet donc égaux, et les parallèles donnent des angles alternes-internes égaux). On calcule donc une longueur exactement comme dans le triangle simple : choisir les deux rapports utiles, égaler, produit en croix. Exemple : AM = 3, AB = 6, AC = 8 → 3/6 = AN/8 → AN = 3 × 8 ÷ 6 = 4. Le seul piège spécifique au papillon est la LECTURE de la figure : comme A est au centre, il faut identifier avec soin quel segment appartient au triangle AMN et quel segment au triangle ABC, et ne pas mélanger les points des deux droites.

Une fois les rapports bien écrits, le calcul est le même qu'en THL_3E_002. Ce concept referme l'arc « reconnaître et calculer » avant de passer à la démonstration (réciproque et contraposée).

Le cours

LA CONFIGURATION PAPILLON. Description. Deux droites sont sécantes en A. Deux parallèles les coupent, mais cette fois A est situé ENTRE ces deux parallèles.

Sur la première droite, l'ordre des points est M, A, B (A entre M et B) ; sur la seconde, N, A, C (A entre N et C). En joignant M à N et B à C, on forme deux triangles AMN et ABC qui se touchent uniquement par le sommet A : ils sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET, et l'ensemble ressemble à un nœud papillon. Pourquoi Thalès s'applique encore.

Les deux triangles AMN et ABC ont les mêmes angles : les angles de sommet A sont opposés par le sommet (donc égaux), et comme (MN) ∥ (BC), les angles en M et B (ainsi qu'en N et C) sont alternes-internes, donc égaux. Les triangles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels. On retrouve AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Calcul d'une longueur. La méthode est identique au triangle simple. Exemple.

Papillon avec (MN) ∥ (BC), AM = 3, AB = 6, AC = 8. On cherche AN : AM/AB = AN/AC, soit 3/6 = AN/8. Produit en croix : AN = 3 × 8 ÷ 6 = 24 ÷ 6 = 4. Autre exemple. Si de plus BC = 12, on cherche MN : 3/6 = MN/12 → MN = 3 × 12 ÷ 6 = 6. Rédaction type. « Les points M, A, B et N, A, C sont alignés et (MN) ∥ (BC) : c'est une configuration de Thalès (papillon). Donc AM/AB = AN/AC.

On remplace : 3/6 = AN/8, d'où AN = 3 × 8 ÷ 6 = 4. » Points de vigilance. (1) Bien repérer que A est ENTRE les parallèles (sinon c'est la configuration triangle). (2) Ne pas mélanger les points des deux droites : on apparie les sommets homologues A↔A, M↔B, N↔C (le triangle AMN d'un côté, ABC de l'autre ; rien n'impose que AMN soit le plus petit). (3) Le calcul, lui, ne change pas. À retenir : papillon = A entre les parallèles, deux triangles opposés par le sommet, mêmes rapports AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Les erreurs fréquentes

On croit que le théorème de Thalès ne s'applique plus quand A est entre les parallèles (configuration papillon).

Le papillon EST une configuration de Thalès : les rapports AM/AB = AN/AC = MN/BC restent valables, car les deux triangles opposés par le sommet A sont semblables.

On mélange les points des deux triangles en écrivant les rapports (par exemple AM/AC au lieu de AM/AB).

On garde chaque rapport « côté du triangle AMN sur côté homologue de ABC », en appariant les sommets A↔A, M↔B, N↔C : AM/AB (sur la 1re droite), AN/AC (sur la 2de droite), MN/BC (les parallèles).

On confond la configuration papillon (A entre les parallèles) avec la configuration triangle (A en dehors).

Dans le triangle, M est sur [AB] et A est un sommet extérieur aux parallèles. Dans le papillon, A est ENTRE les deux parallèles (M, A, B alignés dans cet ordre). Le calcul est le même, mais la figure diffère.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une configuration papillon : A entre les deux parallèles, points alignés M, A, B et N, A, C, triangles opposés par le sommet A.
• Justifier que les rapports de Thalès s'y appliquent (triangles semblables) : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
• Calculer une longueur dans un papillon par produit en croix (AM = 3, AB = 6, AC = 8 donne AN = 4).

Vérifie que tu as compris

1. Configuration papillon (A entre les deux parallèles, (MN) ∥ (BC)) : AM = 3, AB = 6, AC = 8. Combien vaut AN ?

   Réponse AN = 4

   Dans le papillon, les rapports de Thalès s'appliquent comme dans le triangle : AM/AB = AN/AC, soit 3/6 = AN/8. Par produit en croix : AN = 3 × 8 ÷ 6 = 24 ÷ 6 = 4. Le fait que A soit entre les deux parallèles ne change rien à l'égalité des rapports (les deux triangles sont opposés par le sommet A).

2. Configuration papillon, (MN) ∥ (BC) : AM = 4, AB = 6, BC = 9. Combien vaut MN ?

   Réponse MN = 6

   Les rapports du papillon sont les mêmes que dans le triangle : AM/AB = MN/BC, soit 4/6 = MN/9. Par produit en croix : MN = 4 × 9 ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6. Les deux triangles AMN et ABC, opposés par le sommet A, restent proportionnels ; le coefficient est 4/6 = 2/3, et 2/3 de 9 vaut bien 6.

3. Deux droites se coupent en A : M et N sont d'un côté de A, B et C de l'autre, et (MN) ∥ (BC). Comment appelle-t-on cette figure ?

   Réponse la configuration papillon

   Quand les deux parallèles encadrent le point d'intersection, les deux triangles se font face de part et d'autre de A : la figure évoque deux ailes, d'où le nom de configuration papillon. Dans les triangles emboîtés, au contraire, les quatre points sont du même côté de A, le petit triangle étant à l'intérieur du grand.