Calculer une longueur avec le produit en croix

L'essentiel

Une fois qu'on sait écrire l'égalité de Thalès AM/AB = AN/AC = MN/BC, on s'en sert pour CALCULER une longueur qui manque sur la figure. La méthode tient en trois gestes. GESTE 1 — on choisit les DEUX rapports utiles : celui qu'on connaît entièrement et celui qui contient la longueur cherchée.

GESTE 2 — on écrit l'égalité de ces deux rapports. GESTE 3 — on applique le PRODUIT EN CROIX : dans une égalité a/b = c/d, on a a × d = b × c ; la longueur inconnue s'obtient en multipliant les deux nombres « en diagonale » puis en divisant par le troisième. Exemple : dans un triangle ABC avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) ∥ (BC), on donne AM = 3, AB = 5 et AC = 10, et on cherche AN.

On écrit AM/AB = AN/AC, soit 3/5 = AN/10. Produit en croix : AN = 3 × 10 ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6. On peut aussi chercher MN : si BC = 8, on écrit AM/AB = MN/BC, soit 3/5 = MN/8, d'où MN = 3 × 8 ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4,8. On vérifie toujours que le résultat est cohérent : le côté du petit triangle (MN = 4,8) est bien plus court que celui du grand (BC = 8), puisque le petit triangle est une réduction.

Comprendre

Le calcul de longueur est l'usage n°1 du théorème de Thalès. Une fois la configuration reconnue et (MN) ∥ (BC) posé, on dispose de l'égalité AM/AB = AN/AC = MN/BC. Pour trouver une longueur manquante, on n'utilise que DEUX des trois rapports : celui entièrement connu et celui qui contient l'inconnue.

On les égale, puis on applique le PRODUIT EN CROIX : de a/b = c/d on tire l'inconnue en multipliant les deux termes diagonaux connus et en divisant par le troisième. Exemple type du brevet : AM = 3, AB = 5, AC = 10, on cherche AN. 3/5 = AN/10 → AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6. Pour MN avec BC = 8 : 3/5 = MN/8 → MN = 3 × 8 ÷ 5 = 4,8. Deux réflexes de contrôle. (1) La cohérence : dans une réduction, les côtés du petit triangle (AM, AN, MN) sont plus courts que ceux du grand (AB, AC, BC) ; un résultat plus grand que le côté du grand triangle signale une erreur. (2) L'ordre des rapports : bien mettre « petit sur grand » des deux côtés, sinon le produit en croix donne l'inverse. Erreurs fréquentes : multiplier sans diviser (AN = 3 × 10 = 30), ou diviser au mauvais endroit.

Ce concept prolonge directement l'énoncé (THL_3E_001) et se transpose tel quel à la configuration papillon (THL_3E_003).

Le cours

CALCULER UNE LONGUEUR AVEC LE THÉORÈME DE THALÈS. Point de départ : une configuration de Thalès où (MN) ∥ (BC), donc AM/AB = AN/AC = MN/BC. Méthode en trois étapes.

Étape 1 — repérer les rapports utiles : on garde le rapport entièrement connu et le rapport qui contient la longueur cherchée (on laisse de côté le troisième). Étape 2 — écrire l'égalité de ces deux rapports. Étape 3 — appliquer le PRODUIT EN CROIX : dans a/b = c/d, on a a × d = b × c ; on isole l'inconnue en multipliant les deux nombres connus placés en diagonale, puis en divisant par le nombre restant.

Exemple 1 (chercher AN). Triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC], (MN) ∥ (BC). Données : AM = 3, AB = 5, AC = 10. On écrit AM/AB = AN/AC, soit 3/5 = AN/10. Produit en croix : AN = (3 × 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6. Exemple 2 (chercher MN).

Mêmes données, avec en plus BC = 8. On écrit AM/AB = MN/BC, soit 3/5 = MN/8, d'où MN = (3 × 8) ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4,8. Vérification de cohérence. Le petit triangle AMN est une réduction du grand : ses côtés sont plus courts. Ici AN = 6 < AC = 10 et MN = 4,8 < BC = 8 : cohérent.

Rédaction type. « Les points sont dans une configuration de Thalès et (MN) ∥ (BC), donc AM/AB = AN/AC. On remplace : 3/5 = AN/10. Par produit en croix, AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6 cm. » Points de vigilance. (1) Ne pas oublier de DIVISER : 3 × 10 = 30 n'est pas le résultat, il faut diviser par 5. (2) Garder l'ordre « petit sur grand » des deux côtés de l'égalité. (3) Choisir le bon couple de rapports selon l'inconnue (AN avec AC, MN avec BC). À retenir : deux rapports égaux + produit en croix = longueur cherchée.

Les erreurs fréquentes

On multiplie sans diviser : de 3/5 = AN/10, on conclut AN = 3 × 10 = 30.

Le produit en croix donne 5 × AN = 3 × 10, donc AN = 30 ÷ 5 = 6. Il faut DIVISER par le troisième nombre (5) après avoir multiplié les deux diagonaux.

On inverse l'ordre des rapports : on écrit AB/AM = AN/AC, soit 5/3 = AN/10.

On garde « petit sur grand » des deux côtés : AM/AB = AN/AC, soit 3/5 = AN/10. Sinon le produit en croix donne l'inverse du bon résultat.

On choisit le mauvais couple de rapports (ex. AM/AB = MN/AC pour trouver AN).

Le rapport de l'inconnue doit contenir cette inconnue et son homologue : pour AN, c'est AN/AC ; pour MN, c'est MN/BC. On égale le rapport connu (AM/AB) avec celui qui contient l'inconnue.

Tu maîtrises la notion si…

• Choisir les deux rapports utiles (rapport connu et rapport contenant l'inconnue) à partir de AM/AB = AN/AC = MN/BC.
• Appliquer le produit en croix pour isoler la longueur cherchée (3/5 = AN/10 donne AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6).
• Contrôler la cohérence du résultat (côté du petit triangle plus court que celui du grand) et rédiger la justification.

Vérifie que tu as compris

1. M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) ∥ (BC). On donne AM = 3, AB = 5, AC = 10. Combien vaut AN ?

   Réponse AN = 6

   D'après Thalès, AM/AB = AN/AC, soit 3/5 = AN/10. Par produit en croix : AN = 3 × 10 ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6. On multiplie les deux termes en diagonale (3 et 10) puis on divise par le troisième (5). AN = 15 multiplie 3 par 5 au lieu de 3 par 10 ; AN = 1,5 divise par 10 au lieu de 5 (3 × 5 ÷ 10) ; AN = 5 recopie AB sans faire le calcul.

2. M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) ∥ (BC). On donne AM = 3, AB = 5, BC = 8. Combien vaut MN ?

   Réponse MN = 4,8

   D'après Thalès, AM/AB = MN/BC, soit 3/5 = MN/8. Par produit en croix : MN = 3 × 8 ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4,8. Le petit côté MN est plus court que BC (car le petit triangle est une réduction), ce qui est cohérent avec 4,8 < 8. MN = 13,3 viendrait de 8 × 5 ÷ 3 (rapports inversés).

3. Une configuration de Thalès conduit à l'égalité 3/5 = x/7,5. Que vaut x ?

   Réponse 4,5

   Produit en croix : 3 × 7,5 = 5 × x, donc x = 22,5 ÷ 5 = 4,5. Vérification : 4,5/7,5 = 0,6 et 3/5 = 0,6, les deux quotients coïncident. La valeur 12,5 vient de 5 × 7,5 ÷ 3 (rapport inversé) et 2 de 3 × 5 ÷ 7,5 (mauvaise diagonale).