Contraposée de Thalès : prouver un non-parallélisme

L'essentiel

La CONTRAPOSÉE du théorème de Thalès est le pendant de la réciproque : elle sert à DÉMONTRER que deux droites NE SONT PAS parallèles. La méthode ressemble beaucoup à celle de la réciproque, mais la conclusion s'inverse. On calcule les deux rapports AM/AB et AN/AC : s'ils sont DIFFÉRENTS, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Énoncé : si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. La démarche : (1) on calcule séparément AM/AB et AN/AC ; (2) on constate qu'ils sont différents ; (3) on conclut « d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles ». Exemple : AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 6. On calcule AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/6 = 0,5. Comme 0,4 ≠ 0,5, les deux rapports sont différents : d'après la contraposée, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Le point le plus important à retenir : réciproque et contraposée reposent sur le MÊME calcul (comparer AM/AB et AN/AC) ; c'est le RÉSULTAT de la comparaison qui décide. Rapports ÉGAUX (et même ordre) → droites parallèles (réciproque) ; rapports DIFFÉRENTS → droites non parallèles (contraposée).

Comprendre

La contraposée du théorème de Thalès démontre qu'un parallélisme est FAUX. Elle complète la réciproque : les deux reposent sur le même geste — comparer AM/AB et AN/AC — mais donnent des conclusions opposées selon le résultat. Énoncé : si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Démarche : (1) calculer séparément les deux rapports (de préférence en décimal pour comparer) ; (2) constater leur DIFFÉRENCE ; (3) conclure « d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles ». Exemple : AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 6 → 2/5 = 0,4 et 3/6 = 0,5 ; comme 0,4 ≠ 0,5, les droites ne sont pas parallèles. Le lien réciproque / contraposée est le message central : un SEUL calcul (comparer les deux rapports) ; si égaux (et même ordre), c'est la réciproque qui conclut « parallèles » ; si différents, c'est la contraposée qui conclut « non parallèles ».

Erreurs à éviter : conclure « parallèles » alors que les rapports sont différents (confusion des deux conclusions) ; ou comparer autre chose que les rapports (par exemple les longueurs brutes). Ce concept clôt le chapitre : avec la réciproque, il donne les deux outils de démonstration attendus au brevet.

Le cours

LA CONTRAPOSÉE DU THÉORÈME DE THALÈS. À quoi elle sert. Elle DÉMONTRE que deux droites ne sont pas parallèles.

Elle est le complément de la réciproque : ensemble, elles couvrent les deux réponses possibles (parallèles / non parallèles) à partir des longueurs. Énoncé. Si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Méthode en trois temps (comme la réciproque, conclusion inversée). Temps 1 — calculer séparément AM/AB et AN/AC (passer en décimal facilite la comparaison). Temps 2 — constater que les deux rapports sont DIFFÉRENTS.

Temps 3 — conclure : « d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles ». Exemple détaillé. AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 6. AM/AB = 2/5 = 0,4 ; AN/AC = 3/6 = 0,5. Comme 0,4 ≠ 0,5, les rapports sont différents, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Deuxième exemple. AM = 3, AB = 4, AN = 5, AC = 8 : 3/4 = 0,75 et 5/8 = 0,625 ; différents → non parallèles. Lien réciproque / contraposée.

Les deux démonstrations reposent sur le même calcul : comparer AM/AB et AN/AC. Si les rapports sont égaux (et les points dans le même ordre), la réciproque conclut « parallèles » ; s'ils sont différents, la contraposée conclut « non parallèles ». Rédaction type. « D'une part AM/AB = 2/5 = 0,4 ; d'autre part AN/AC = 3/6 = 0,5. Comme 0,4 ≠ 0,5, d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. » Points de vigilance. (1) Une DIFFÉRENCE des rapports donne « non parallèles » (ne pas conclure l'inverse). (2) Comparer les rapports, pas les longueurs brutes. (3) Calculer les deux rapports séparément avant de conclure.

À retenir : AM/AB ≠ AN/AC ⟹ (MN) et (BC) non parallèles.

Les erreurs fréquentes

On conclut « parallèles » alors que les deux rapports sont différents (confusion réciproque / contraposée).

Si AM/AB ≠ AN/AC, la conclusion est que (MN) et (BC) ne sont PAS parallèles. Des rapports égaux donneraient « parallèles » (réciproque) ; des rapports différents donnent « non parallèles » (contraposée).

On compare les longueurs brutes (AM et AN, ou AB et AC) au lieu des rapports.

La contraposée compare des RAPPORTS : AM/AB et AN/AC. Ici 2/5 = 0,4 et 3/6 = 0,5, différents, donc non parallèles. Comparer AM et AN directement ne prouve rien.

On croit les rapports égaux car les fractions se ressemblent (2/5 et 3/6), sans les calculer.

On passe en décimal pour comparer : 2/5 = 0,4 et 3/6 = 0,5 ; ils sont bien différents. Il faut effectuer le calcul, ne pas se fier à l'apparence des fractions.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la contraposée de Thalès : si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
• Calculer séparément les deux rapports et constater leur différence (2/5 = 0,4 et 3/6 = 0,5).
• Conclure au non-parallélisme et distinguer ce cas de la réciproque (parallèles si les rapports sont égaux).

Vérifie que tu as compris

1. On calcule AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/6 = 0,5. Que peut-on conclure ?

   Réponse (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

   On compare les deux rapports : AM/AB = 0,4 et AN/AC = 0,5. Ils sont DIFFÉRENTS (0,4 ≠ 0,5). D'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Si les rapports avaient été égaux, la réciproque aurait au contraire donné le parallélisme.

2. A, M, B et A, N, C alignés dans le même ordre, avec AM = 3, AB = 4, AN = 5, AC = 8. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

   Réponse non, car 3/4 ≠ 5/8

   On calcule les deux rapports : AM/AB = 3/4 = 0,75 et AN/AC = 5/8 = 0,625. Comme 0,75 ≠ 0,625, les rapports sont différents : d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Comparer MN et BC ne prouve rien : c'est l'égalité (ou non) des rapports qui décide.

3. Un élève trouve OR/OS = 0,6 et OT/OU = 0,75, puis annonce que les droites sont parallèles. A-t-il raison ?

   Réponse non, les quotients diffèrent : elles ne sont pas parallèles

   0,6 ≠ 0,75 : les deux quotients ne sont pas égaux. La contraposée du théorème de Thalès permet alors d'affirmer que les droites ne sont PAS parallèles. « Proches » ne veut rien dire en géométrie : seule l'égalité exacte des quotients donnerait le parallélisme.