Agrandissement et réduction

En une phrase

Un agrandissement-réduction, c'est quand tu multiplies TOUTES les longueurs d'une figure par le même nombre k. Si k est plus grand que 1, la figure grandit ; si k est entre 0 et 1, elle rétrécit ; si k = 1, elle reste pareille. La forme ne change pas : les angles restent les mêmes.

Comprendre

Quand tu agrandis ou tu réduis une figure, tu choisis un nombre appelé coefficient, noté k, et tu multiplies par ce même k chacune des longueurs de la figure : tous les côtés, le périmètre, les diagonales… toutes les longueurs sont multipliées par le même k. C'est ce « même k pour tout » qui garantit que la figure d'arrivée a exactement la même forme que celle de départ : on dit qu'elle lui est semblable. Le rôle de k est facile à lire.

Si k > 1, chaque longueur est multipliée par un nombre plus grand que 1, donc la figure devient plus grande : c'est un agrandissement (par exemple k = 3). Si k est compris entre 0 et 1, chaque longueur est multipliée par un nombre plus petit que 1, donc la figure devient plus petite : c'est une réduction (par exemple k = 0,5 réduit de moitié). Si k = 1, on multiplie tout par 1 : la figure ne change pas, elle est identique.

Un point très important : un agrandissement-réduction conserve la forme. Les angles ne changent pas, et les proportions entre les longueurs non plus. La figure agrandie ou réduite est une copie « à l'échelle » de l'originale : seule la taille change, pas l'allure générale.

Le cours

Réaliser un agrandissement ou une réduction d'une figure consiste à construire une nouvelle figure de même forme, mais de taille différente. Pour cela, on utilise un nombre strictement positif appelé coefficient d'agrandissement (ou de réduction), noté k. La règle est simple : on multiplie toutes les longueurs de la figure de départ par ce même coefficient k.

Cela concerne chacune des longueurs : les côtés, le périmètre, les diagonales, etc. ; toutes sont multipliées par le même k. Le coefficient k indique la nature de la transformation. Lorsque k > 1, toutes les longueurs augmentent : on parle d'un agrandissement.

Lorsque 0 < k < 1, toutes les longueurs diminuent : on parle d'une réduction. Lorsque k = 1, les longueurs sont inchangées : la figure obtenue est identique à la figure de départ. Une propriété fondamentale caractérise ces transformations : un agrandissement-réduction conserve la forme de la figure.

Concrètement, les angles sont conservés (ils gardent la même mesure) et la figure obtenue est semblable à la figure initiale. C'est la conséquence directe du fait que toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient : si l'on multipliait des longueurs par des nombres différents, la forme serait déformée. Reconnaître un agrandissement-réduction, c'est donc vérifier qu'on passe d'une figure à l'autre en multipliant toutes les longueurs par un seul et même nombre k.

Les erreurs fréquentes

Pour agrandir une figure, on multiplie chaque longueur par un nombre différent, ou on ajoute la même valeur à chaque longueur.

Un agrandissement-réduction multiplie TOUTES les longueurs par le MÊME coefficient k (on multiplie, on n'ajoute pas) ; c'est ce qui garde la même forme. Multiplier par des nombres différents déformerait la figure.

Quand on agrandit une figure, ses angles deviennent plus grands eux aussi.

Un agrandissement-réduction conserve la forme : les angles ne changent pas, seules les longueurs sont multipliées par k. La figure obtenue est semblable à celle de départ.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir un agrandissement-réduction comme la multiplication de toutes les longueurs par un même coefficient k.
• Relier la valeur de k à l'effet : k > 1 agrandit, 0 < k < 1 réduit, k = 1 ne change rien.
• Savoir qu'un agrandissement-réduction conserve la forme (les angles sont conservés, la figure est semblable).

Vérifie que tu as compris

1. Un coefficient d'agrandissement k compris entre 0 et 1 correspond à :

   Réponse une réduction

   Si 0 < k < 1, les longueurs diminuent : c'est une réduction (k > 1 serait un agrandissement, k = 1 ne changerait rien). On précise « entre 0 et 1 » parce qu'un rapport NÉGATIF, lui, agrandit : une homothétie de rapport −2 multiplie les longueurs par 2.

2. Dans un agrandissement ou une réduction, les angles de la figure :

   Réponse ne changent pas

   Un agrandissement-réduction conserve les angles : seules les longueurs sont multipliées par k.

3. Dans un agrandissement de rapport 4, par combien le périmètre d'une figure est-il multiplié ?

   Réponse 4

   Un périmètre est une somme de longueurs, et chaque longueur est multipliée par le rapport k = 4 : le périmètre l'est donc aussi. Le facteur 16 = 4² concerne les AIRES, pas les périmètres ; 8 correspondrait à 4 × 2 et 2 à la racine de 4.