Agrandir et réduire

En une phrase

Quand tu agrandis ou tu réduis une figure, tu multiplies TOUTES ses longueurs par le même nombre, qu'on appelle le rapport k. Du coup, les longueurs de départ et les longueurs d'arrivée sont proportionnelles : c'est toujours le même tableau de proportionnalité.

Comprendre

Imagine que tu photocopies une figure en l'agrandissant ou en la réduisant. Le secret, c'est qu'il y a un seul nombre qui commande tout : le rapport, qu'on note souvent k. Pour passer de la figure de départ à son image, tu multiplies CHAQUE longueur par ce même rapport k.

Si k = 2, toutes les longueurs sont multipliées par 2 : c'est un agrandissement, la figure devient deux fois plus grande. Si k = 0,5, toutes les longueurs sont multipliées par 0,5 (donc divisées par 2) : c'est une réduction, la figure devient deux fois plus petite. La règle clé, c'est « toutes » : tu ne touches pas à une seule longueur, tu les multiplies toutes par le même k.

C'est exactement ce que veut dire « proportionnel » : les longueurs de la figure et celles de son image forment un tableau de proportionnalité dont le coefficient est k. Une longueur de l'image vaut donc toujours le rapport k fois la longueur correspondante de départ. Cette idée est le cœur du chapitre : le théorème de Thalès, que tu verras juste après, n'est qu'une façon de fabriquer un agrandissement-réduction avec des droites parallèles.

Retiens donc : un agrandissement-réduction = un seul rapport k = toutes les longueurs proportionnelles.

Le cours

Agrandir ou réduire une figure consiste à fabriquer une nouvelle figure, son image, en multipliant toutes ses longueurs par un même nombre strictement positif appelé rapport (ou coefficient), souvent noté k. Si k est supérieur à 1, on obtient un agrandissement : l'image est plus grande que la figure de départ. Si k est compris entre 0 et 1, on obtient une réduction : l'image est plus petite.

Si k = 1, la figure ne change pas de taille. Le point essentiel est que le même rapport k s'applique à toutes les longueurs sans exception : chaque côté, chaque diagonale, chaque segment est multiplié par k. Conséquence directe : les longueurs de la figure de départ et les longueurs correspondantes de l'image sont proportionnelles, et le coefficient de proportionnalité est précisément k.

On peut donc ranger les longueurs dans un tableau de proportionnalité : à chaque longueur de départ correspond une longueur image égale à k fois cette longueur. Inversement, le rapport k se retrouve en divisant une longueur de l'image par la longueur correspondante de la figure de départ ; ce quotient est le même pour toutes les paires de longueurs correspondantes. Attention : dans un agrandissement-réduction, les longueurs sont multipliées par k, mais les angles, eux, ne changent pas (la forme est conservée).

Cette propriété de proportionnalité des longueurs est le fondement du théorème de Thalès : deux parallèles qui coupent deux droites sécantes découpent deux triangles emboîtés dont l'un est un agrandissement-réduction de l'autre. La transformation qui réalise concrètement cet agrandissement-réduction porte un nom : l'HOMOTHÉTIE. Elle est définie par DEUX données, un point fixe O appelé centre et un nombre non nul k appelé rapport.

L'image M' d'un point M est le point de la droite (OM) tel que OM' = |k| × OM. Le signe de k dit de quel côté : si k est positif, M' est du MÊME côté de O que M ; si k est négatif, M' est de l'AUTRE côté, la figure étant en plus retournée d'un demi-tour. Le centre O est le seul point qui ne bouge pas.

Les longueurs de l'image sont multipliées par la valeur absolue de k : une homothétie de rapport −2 est donc un agrandissement de rapport 2 (les longueurs doublent) accompagné d'un retournement, et non une réduction. Une homothétie conserve les angles, l'alignement et le parallélisme : c'est pourquoi l'image a exactement la MÊME FORME que la figure de départ.

Les erreurs fréquentes

Penser qu'on ajoute le même nombre à chaque longueur (par exemple +3 cm partout) pour agrandir une figure.

On ne additionne pas : on MULTIPLIE chaque longueur par le rapport k. Un agrandissement-réduction est une multiplication par un même nombre, pas une addition.

Croire qu'on multiplie une seule longueur (par exemple un seul côté) par k et qu'on laisse les autres telles quelles.

Le rapport k s'applique à TOUTES les longueurs en même temps. Si une longueur est multipliée par k, alors toutes les autres le sont aussi ; sinon la figure est déformée et ce n'est plus un agrandissement-réduction.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire un agrandissement-réduction comme la multiplication de toutes les longueurs par un même rapport k (k > 1 agrandit, 0 < k < 1 réduit).
• Relier agrandissement-réduction et proportionnalité : les longueurs de la figure et de son image forment un tableau de proportionnalité de coefficient k.
• Calculer le rapport k en divisant une longueur de l'image par la longueur correspondante de la figure de départ.
• Définir une homothétie par son centre O et son rapport k, et placer l'image d'un point (du même côté de O si k > 0, de l'autre côté si k < 0, avec OM' = |k| × OM).

Vérifie que tu as compris

1. Une homothétie est définie par :

   Réponse un centre et un rapport

   Une homothétie a besoin de deux données : un point fixe (le centre) et un nombre (le rapport k) qui multiplie toutes les distances au centre. Un centre et un angle définissent une rotation, un vecteur une translation, un axe une symétrie axiale.

2. Homothétie de centre O et de rapport −2 : où se trouve l'image A' du point A ?

   Réponse de l'autre côté de O, à 2 × OA

   La valeur absolue du rapport (ici 2) donne la distance : OA' = 2 × OA. Le SIGNE donne le côté : un rapport négatif envoie l'image de l'autre côté du centre, sur la demi-droite opposée. Avec un rapport +2, A' serait du même côté que A ; l'image reste sur la droite (OA) dans les deux cas.