Effet sur les volumes

En une phrase

Quand tu agrandis ou tu réduis une figure avec un coefficient k, chaque longueur est simplement multipliée par k. Par exemple, si tu agrandis × 3, une longueur de 5 cm devient 5 × 3 = 15 cm. Pour une réduction, c'est pareil : tu multiplies par k (un nombre plus petit que 1).

Comprendre

L'effet d'un agrandissement-réduction sur les longueurs est le plus direct à comprendre : une longueur est tout simplement multipliée par le coefficient k. Si tu connais une longueur de la figure de départ et le coefficient, tu obtiens la longueur correspondante de la figure d'arrivée en faisant : longueur d'arrivée = k × longueur de départ. Prenons un exemple d'agrandissement de coefficient k = 3. Un côté qui mesure 5 cm sur la figure de départ mesurera 5 × 3 = 15 cm sur la figure agrandie.

Un autre côté de 4 cm deviendra 4 × 3 = 12 cm. C'est le même calcul pour toutes les longueurs : on multiplie chacune par 3. Pour une réduction, on procède exactement de la même façon, mais avec un coefficient k compris entre 0 et 1. Avec k = 0,5, une longueur de 10 cm devient 10 × 0,5 = 5 cm : la longueur est divisée par deux. Le coefficient peut donc agrandir ou réduire, mais l'opération est toujours une multiplication par k.

À l'inverse, si tu connais une longueur de la figure agrandie et une longueur de la figure de départ qui se correspondent, tu peux retrouver le coefficient en divisant la longueur d'arrivée par la longueur de départ. Mais l'essentiel à retenir ici est l'effet direct : pour les longueurs, on multiplie par k.

Le cours

Dans un agrandissement-réduction de coefficient k, l'effet sur les longueurs suit une règle unique et simple : chaque longueur de la figure est multipliée par le coefficient k. On peut l'écrire ainsi : longueur d'arrivée = k × longueur de départ. Cette règle s'applique à toutes les longueurs de la figure : côtés, hauteurs, périmètre, diagonales…

Considérons un agrandissement de coefficient k = 3. Une longueur de 5 cm sur la figure de départ devient 5 × 3 = 15 cm sur la figure agrandie. Une longueur de 4 cm devient 4 × 3 = 12 cm. Le périmètre lui-même est multiplié par 3, puisqu'il est une somme de longueurs.

Pour une réduction, la règle est identique, avec un coefficient k tel que 0 < k < 1. Par exemple, avec k = 0,5, une longueur de 10 cm devient 10 × 0,5 = 5 cm : elle est divisée par deux. La multiplication par k résume donc à elle seule l'effet d'un agrandissement-réduction sur n'importe quelle longueur. Réciproquement, si l'on connaît deux longueurs correspondantes (une dans chaque figure), on retrouve le coefficient en calculant le quotient : k = longueur d'arrivée ÷ longueur de départ.

Il reste à distinguer ce cas de celui des AIRES et des VOLUMES. Une aire met en jeu DEUX longueurs, toutes deux multipliées par k : elle est donc multipliée par k × k = k². Avec k = 3, un carré de 1 cm de côté devient un carré de 3 cm de côté, que l'on pave avec 3 × 3 = 9 carrés de 1 cm² : l'aire est multipliée par 9, pas par 3. Ainsi un rectangle de 5 cm sur 4 cm, d'aire 20 cm², devient un rectangle de 15 cm sur 12 cm, d'aire 15 × 12 = 180 cm² — soit bien 20 × 9. Un volume, lui, met en jeu TROIS longueurs : il est multiplié par k × k × k = k³.

Avec k = 2, un cube de 1 cm d'arête devient un cube de 2 cm d'arête, que l'on remplit avec 2 × 2 × 2 = 8 cubes de 1 cm³ ; un cube de 3 cm d'arête (27 cm³) devient un cube de 6 cm d'arête, de volume 6 × 6 × 6 = 216 cm³, soit 27 × 8. En résumé : l'exposant du coefficient est le nombre de dimensions de la grandeur — longueurs × k, aires × k², volumes × k³. L'erreur la plus fréquente est d'appliquer aux aires ou aux volumes le facteur des longueurs.

Les erreurs fréquentes

Pour agrandir une longueur d'un coefficient k = 3, on ajoute 3 à la longueur (5 cm devient 8 cm).

On multiplie par k, on n'ajoute pas : avec k = 3, une longueur de 5 cm devient 5 × 3 = 15 cm, pas 5 + 3 = 8 cm.

Avec un coefficient k = 0,5, la figure est agrandie car on transforme bien les longueurs.

Multiplier par k = 0,5 (un nombre compris entre 0 et 1) divise les longueurs par deux : c'est une réduction. Une longueur de 10 cm devient 10 × 0,5 = 5 cm.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, dans un agrandissement-réduction de coefficient k, chaque longueur est multipliée par k.
• Calculer une longueur d'arrivée à partir d'une longueur de départ et du coefficient (longueur × k).
• Reconnaître qu'un coefficient compris entre 0 et 1 réduit les longueurs (division), tandis qu'un coefficient supérieur à 1 les agrandit.
• Multiplier une AIRE par k² et un VOLUME par k³, et justifier l'exposant par le nombre de dimensions de la grandeur.

Vérifie que tu as compris

1. On agrandit une figure avec un coefficient 3. Une longueur de 5 cm devient :

   Réponse 15 cm

   Les longueurs sont multipliées par le coefficient k = 3 : 5 × 3 = 15 cm.

2. On réduit une figure avec un coefficient k = 0,5. Une longueur de 12 cm devient :

   Réponse 6 cm

   Les longueurs sont multipliées par k = 0,5 : 12 × 0,5 = 6 cm.

3. On agrandit une figure avec un rapport 2,5. Une longueur de 6 cm devient :

   Réponse 15 cm

   Dans un agrandissement de rapport 2,5, chaque longueur est multipliée par 2,5 : 6 × 2,5 = 15 cm.