Triangle rectangle et cercle circonscrit

L'essentiel

Il existe un lien remarquable entre triangle rectangle et cercle. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse [BC] : le centre O du cercle est exactement au milieu de [BC], et le cercle passe par A, B et C. Comme O est le milieu de l'hypoténuse et que OA est un rayon, on a OA = OB = OC = BC/2 : la médiane [AO], qui va de l'angle droit A au milieu O de l'hypoténuse, mesure la moitié de l'hypoténuse. Et ça marche dans les deux sens (« si et seulement si ») : si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors le triangle est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé à ce diamètre.

C'est très pratique pour reconnaître ou construire un angle droit : tout point du cercle, relié aux deux extrémités d'un diamètre, forme un angle droit.

Comprendre

Ce concept relie le triangle rectangle à son cercle circonscrit par une équivalence (« si et seulement si »). Sens direct : si un triangle ABC est rectangle en A, alors son hypoténuse [BC] (le côté opposé à l'angle droit) est un diamètre de son cercle circonscrit. Il en découle deux conséquences importantes. (1) Le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC] (car le centre est toujours le milieu d'un diamètre). (2) La médiane issue de l'angle droit, c'est-à-dire le segment [AO] joignant A au milieu O de [BC], est un rayon du cercle ; comme le rayon vaut la moitié du diamètre, OA = BC/2. Autrement dit, dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse.

Sens réciproque : si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé au diamètre. C'est la propriété qui permet de « fabriquer » un angle droit : n'importe quel point du cercle, relié aux deux extrémités d'un diamètre, voit ce diamètre sous un angle droit. Exemple : un triangle rectangle de côtés 6, 8, 10 (rectangle car 6² + 8² = 10²) a pour hypoténuse 10 ; le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, et la médiane issue de l'angle droit vaut 10/2 = 5. Points de vigilance. (1) C'est l'HYPOTÉNUSE (le plus grand côté, opposé à l'angle droit) qui est le diamètre. (2) Le centre O est le MILIEU de l'hypoténuse, pas un autre point. (3) La médiane de l'angle droit = moitié de l'hypoténuse, résultat direct de « rayon = diamètre/2 ».

Cette caractérisation complète l'étude du cercle circonscrit dans le cas particulier, très fréquent, du triangle rectangle.

Le cours

Le cas du triangle rectangle donne au cercle circonscrit une forme particulièrement simple. Énoncé (équivalence). Un triangle est rectangle si et seulement si son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

On a donc deux implications. Sens direct : si ABC est rectangle en A, alors [BC] (hypoténuse, opposée à l'angle droit) est un diamètre du cercle circonscrit. Conséquences du sens direct. (1) Le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC], puisque le centre d'un cercle est le milieu de tout diamètre. (2) La médiane issue de l'angle droit, le segment [AO], est un rayon ; comme le rayon vaut la moitié du diamètre, OA = BC/2. On retient : dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse.

Sens réciproque. Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé au diamètre. Conséquence pratique : pour tout point M d'un cercle de diamètre [BC], le triangle BMC est rectangle en M. On peut donc construire un angle droit en plaçant un point sur un cercle dont un diamètre est fixé.

Exemple détaillé. Soit ABC rectangle en A avec AB = 6, AC = 8 ; alors BC = 10 (car 6² + 8² = 100 = 10²). L'hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit ; son centre O est le milieu de [BC] ; la médiane [AO] issue de l'angle droit vaut OA = BC/2 = 10/2 = 5. Points de vigilance. (1) C'est l'hypoténuse (plus grand côté, opposé à l'angle droit) qui est le diamètre. (2) Le centre O est le milieu de l'hypoténuse. (3) OA = OB = OC = BC/2 : la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse. (4) L'équivalence fonctionne dans les deux sens : diamètre ⟹ angle droit, et angle droit ⟹ diamètre.

Retenir : triangle rectangle ⟺ hypoténuse = diamètre du cercle circonscrit ⟹ centre = milieu de l'hypoténuse et médiane = hypoténuse/2.

Les erreurs fréquentes

On prend un côté de l'angle droit comme diamètre, au lieu de l'hypoténuse.

C'est l'HYPOTÉNUSE (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) qui est le diamètre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle.

On oublie que le centre O est le milieu de l'hypoténuse, ou que la médiane issue de l'angle droit vaut BC/2.

Comme [BC] est un diamètre, son milieu O est le centre ; la médiane [AO] est un rayon, donc OA = BC/2 (la moitié de l'hypoténuse).

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'équivalence : triangle rectangle ⟺ hypoténuse = diamètre du cercle circonscrit.
• Situer le centre O au milieu de l'hypoténuse et justifier OA = OB = OC = BC/2.
• Utiliser la réciproque : un point sur un cercle relié aux extrémités d'un diamètre forme un angle droit.

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle RST est rectangle en R. On trace son cercle circonscrit : que représente pour ce cercle le côté [ST] ?

   Réponse Un diamètre

   Un triangle est rectangle si et seulement si son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Le triangle étant rectangle en R, l'hypoténuse [ST] est donc un diamètre du cercle.

2. ABC est rectangle en A. Où se trouve le centre O de son cercle circonscrit, et combien vaut la médiane [AO] ?

   Réponse O est le milieu de [BC] et AO = BC/2

   L'hypoténuse [BC] étant un diamètre, son milieu est le centre O du cercle. La médiane [AO] issue de l'angle droit est un rayon, donc AO = BC/2 (la moitié de l'hypoténuse).

3. Un point M est placé sur un cercle de diamètre [BC], puis on trace [MB] et [MC]. Quelle est la nature du triangle BMC ?

   Réponse il est rectangle en M

   Le côté [BC] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle BMC : ce triangle est donc rectangle, et l'angle droit se situe au sommet opposé au diamètre, c'est-à-dire en M.