Le cercle circonscrit d'un triangle

L'essentiel

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu ; ses points sont exactement ceux qui sont à égale distance des deux extrémités. Dans un triangle ABC, on peut tracer trois médiatrices, une par côté. Résultat remarquable : ces trois médiatrices se coupent toutes en un même point, noté O. Pourquoi est-ce utile ?

Comme O est sur la médiatrice de [AB], il est à égale distance de A et de B. Comme il est aussi sur celle de [BC], il est à égale distance de B et de C. Au total : OA = OB = OC. Le point O est donc à la même distance des trois sommets. Si on trace le cercle de centre O et de rayon OA, il passe par A, mais aussi par B et par C (puisque OB = OC = OA).

Ce cercle s'appelle le cercle circonscrit au triangle : c'est le seul cercle qui passe par les trois sommets, et son centre est le point de concours des médiatrices.

Comprendre

Le cercle circonscrit d'un triangle se construit à partir des médiatrices de ses côtés. Rappel : la médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu ; sa propriété caractéristique est que tout point de la médiatrice est équidistant de A et de B. Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices des trois côtés. Propriété de concours : les trois médiatrices passent par un même point O (elles sont concourantes).

Conséquence sur les distances : O appartenant à la médiatrice de [AB], on a OA = OB ; O appartenant à la médiatrice de [BC], on a OB = OC. En combinant, OA = OB = OC : le point O est équidistant des trois sommets. Le cercle circonscrit : le cercle de centre O et de rayon R = OA passe alors par les trois sommets, car OB et OC valent aussi R. C'est le cercle circonscrit au triangle, l'unique cercle passant par A, B et C ; son centre O est le point de concours des médiatrices et son rayon est la distance commune OA = OB = OC.

Construction pratique : il suffit de tracer DEUX médiatrices pour obtenir O à leur intersection (la troisième passe automatiquement par ce point), puis de tracer le cercle de centre O passant par un sommet. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre le cercle circonscrit (centre = concours des médiatrices, passe par les sommets) avec le cercle inscrit (centre = concours des bissectrices, tangent aux côtés). (2) L'équidistance OA = OB = OC est la clé : ce sont les trois rayons. Ce résultat relie une propriété de concours (les médiatrices) à un objet global (le cercle qui entoure le triangle).

Le cours

Rappel de Cinquième remobilisé ici : les médiatrices et le cercle circonscrit ont été construits en 5e ; en Quatrième on les réinvestit pour le cas du triangle rectangle. Le cercle circonscrit est l'un des cercles remarquables associés à un triangle ; il se construit grâce aux médiatrices. Rappel sur la médiatrice.

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu. Propriété caractéristique : un point appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement s'il est à égale distance de A et de B. Les trois médiatrices d'un triangle. Dans un triangle ABC, chaque côté a sa médiatrice ; il y en a donc trois.

Théorème de concours : les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent par un même point, noté O. Pourquoi O est équidistant des sommets. O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB. O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC.

Par conséquent OA = OB = OC : O est à la même distance des trois sommets. Le cercle circonscrit. On appelle cercle circonscrit au triangle ABC le cercle de centre O passant par les trois sommets.

Son centre est O (concours des médiatrices) et son rayon est R = OA = OB = OC. Il passe par A, B et C, et c'est le seul cercle à le faire. Construction.

En pratique, on trace deux des trois médiatrices : leur intersection donne O (la troisième médiatrice passe automatiquement par O). On pique le compas en O et on trace le cercle passant par un sommet ; il passe alors par les trois. Exemple d'usage.

Pour placer un point à égale distance de trois lieux A, B, C non alignés, on cherche le centre du cercle circonscrit au triangle ABC : c'est l'intersection des médiatrices. Points de vigilance. (1) Le cercle circonscrit passe par les SOMMETS ; son centre est le concours des MÉDIATRICES. (2) Ne pas le confondre avec le cercle inscrit (tangent aux côtés, centre = concours des bissectrices). (3) L'égalité OA = OB = OC est le cœur du raisonnement. Retenir : trois médiatrices concourantes en O ⟹ OA = OB = OC ⟹ cercle circonscrit de centre O passant par A, B, C.

Les erreurs fréquentes

On confond cercle circonscrit et cercle inscrit (médiatrices vs bissectrices, passe par les sommets vs tangent aux côtés).

Le cercle circonscrit a pour centre le concours des MÉDIATRICES et passe par les trois SOMMETS. Le cercle inscrit a pour centre le concours des bissectrices et est tangent aux trois côtés.

On oublie que O est équidistant des trois sommets et on ne justifie pas OA = OB = OC.

O est sur chaque médiatrice, donc OA = OB (médiatrice de [AB]) et OB = OC (médiatrice de [BC]) : OA = OB = OC, ce sont les rayons du cercle.

Tu maîtrises la notion si…

• Savoir que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O.
• Justifier que O est équidistant des trois sommets : OA = OB = OC.
• Identifier O comme centre du cercle circonscrit passant par A, B et C, de rayon OA.

Vérifie que tu as compris

1. On trace les trois médiatrices d'un triangle RST : elles sont concourantes en un point I. De quel cercle I est-il le centre ?

   Réponse Le cercle circonscrit (qui passe par les trois sommets)

   Le point de concours des trois médiatrices est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, celui qui passe par R, S et T.

2. O est le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC. Que peut-on dire des longueurs OA, OB et OC ?

   Réponse OA = OB = OC (ce sont des rayons du cercle)

   O est sur les trois médiatrices, donc équidistant des trois sommets : OA = OB = OC. Ces trois longueurs sont les rayons du cercle circonscrit qui passe par A, B et C.

3. Qu'est-ce que la médiatrice du côté [AB] d'un triangle ?

   Réponse la perpendiculaire à [AB] passant par son milieu

   La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu. Sa propriété clé est que tous ses points sont équidistants de A et de B ; c'est ce qui conduit, pour les trois côtés, au centre du cercle circonscrit.