La droite des milieux (théorème)

L'essentiel

La « droite des milieux » relie les milieux de deux côtés d'un triangle. Prends un triangle ABC. Place M au milieu du côté [AB] et N au milieu du côté [AC].

Trace le segment [MN]. Il se passe deux choses très utiles : (1) [MN] est PARALLÈLE au troisième côté [BC] ; (2) [MN] est DEUX FOIS plus court que [BC], autrement dit MN = BC/2. Exemple : si BC = 8, alors MN = 8/2 = 4. Retiens bien les deux mots : parallèle (même direction que [BC]) et moitié (la longueur est divisée par deux). C'est un raccourci qui évite de tout calculer : dès que tu repères les milieux de deux côtés, tu connais la direction et la longueur du segment qui les joint.

Comprendre

Le théorème de la droite des milieux est l'un des grands outils de la géométrie du triangle. Situation : dans un triangle ABC, on note M le milieu du côté [AB] et N le milieu du côté [AC]. Le théorème affirme alors deux conclusions simultanées à propos du segment [MN] qui joint ces deux milieux.

Première conclusion, sur la DIRECTION : (MN) est parallèle à (BC), le troisième côté (celui qui ne contient ni M ni N). Deuxième conclusion, sur la LONGUEUR : MN = BC/2, c'est-à-dire que [MN] mesure exactement la moitié de [BC]. Il faut bien identifier le « troisième côté » : c'est le côté OPPOSÉ au sommet commun aux deux côtés dont on a pris les milieux.

Ici M et N sont sur [AB] et [AC], qui partent tous deux de A ; le troisième côté est donc [BC], opposé à A. Exemple : si BC = 8, alors MN = 4 ; si BC = 12, alors MN = 6. Attention à ne pas inverser : c'est le petit segment des milieux qui vaut la moitié du grand côté, jamais l'inverse. Ce théorème sert de raccourci : sans mesurer, on connaît d'un coup la direction (parallèle) et la longueur (moitié) du segment joignant deux milieux. On l'utilisera ensuite pour calculer des longueurs, prouver des parallélismes, ou déterminer le périmètre du « triangle des milieux ».

Le cours

La droite des milieux d'un triangle est le segment qui joint les milieux de deux de ses côtés ; le théorème qui la concerne relie sa direction et sa longueur au troisième côté. Vocabulaire préalable. Le milieu d'un segment est le point qui le partage en deux parties de même longueur.

Dans un triangle ABC, on choisit deux côtés issus d'un même sommet, par exemple [AB] et [AC] (issus de A), et on note M le milieu de [AB], N le milieu de [AC]. Le programme parle des TROIS théorèmes des milieux : les deux premiers portent sur la droite qui joint deux milieux, le troisième est leur réciproque (concept suivant). PREMIER THÉORÈME (la direction).

Si M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC], alors le segment [MN] est parallèle au troisième côté [BC]. DEUXIÈME THÉORÈME (la longueur). Dans les mêmes conditions, MN = BC/2 : le segment des milieux mesure la moitié du troisième côté.

TROISIÈME THÉORÈME (la réciproque, voir le concept suivant). Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Comment lire la figure.

Le troisième côté [BC] est celui qui est opposé au sommet A (le sommet commun aux deux côtés dont on a pris les milieux). C'est donc à [BC] que [MN] est parallèle, et c'est la longueur BC qu'on divise par deux. Exemple fondamental.

Dans un triangle où BC = 8 cm, avec M milieu de [AB] et N milieu de [AC], on a immédiatement (MN) ∥ (BC) et MN = 8/2 = 4 cm. Autre exemple : BC = 12 → MN = 6. Interprétation. Le « triangle des milieux », formé en joignant les milieux des trois côtés, a des côtés deux fois plus courts que ceux du triangle de départ, tous parallèles aux côtés d'origine.

À retenir : (1) deux conclusions à la fois, la direction (parallèle) ET la longueur (moitié) ; (2) le côté de référence est toujours le troisième côté, opposé au sommet commun ; (3) c'est le segment des milieux qui vaut la moitié, pas l'inverse. Ce théorème est un raccourci puissant pour calculer ou pour démontrer sans mesurer.

Les erreurs fréquentes

On croit que MN = BC (mêmes longueurs) ou que MN = 2 × BC.

Le segment des milieux vaut la MOITIÉ du troisième côté : MN = BC/2. Si BC = 8, alors MN = 4, jamais 8 ni 16.

On prend comme côté de référence un côté qui contient M ou N, au lieu du troisième côté.

Le côté parallèle et deux fois plus long est le TROISIÈME côté [BC], celui qui ne contient ni M ni N (opposé au sommet commun A).

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer M et N, milieux de deux côtés issus d'un même sommet, et le troisième côté [BC].
• Énoncer le théorème : (MN) ∥ (BC) et MN = BC/2.
• Appliquer la relation de longueur (BC = 8 → MN = 4) et affirmer le parallélisme.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle RST, U est le milieu de [RS] et V le milieu de [RT]. Si ST = 14, quelle est la longueur UV ?

   Réponse 7

   D'après le théorème de la droite des milieux, UV = ST/2. Comme ST = 14, on a UV = 14/2 = 7.

2. Dans un triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N celui de [AC]. Que peut-on affirmer sur le segment [MN] ?

   Réponse (MN) est parallèle à (BC) et MN = BC/2

   Le théorème de la droite des milieux affirme que le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure sa moitié : (MN) ∥ (BC) et MN = BC/2.

3. Dans un triangle STV, R est le milieu de [ST] et U le milieu de [SV]. À quel côté le segment [RU] est-il parallèle ?

   Réponse [TV]

   Le théorème de la droite des milieux donne le parallélisme avec le TROISIÈME côté, celui qui ne contient ni R ni U. R et U sont sur [ST] et [SV], deux côtés issus de S : le troisième côté est donc [TV], opposé à S, et (RU) ∥ (TV) avec RU = TV/2.