Calculer avec la droite des milieux

L'essentiel

Une fois le théorème de la droite des milieux connu, on s'en sert pour CALCULER. La relation clé est MN = BC/2, qu'on peut lire dans les deux sens : si on connaît le grand côté, MN = BC/2 (on divise par 2) ; si on connaît le segment des milieux, BC = 2 × MN (on multiplie par 2). Exemple : MN = 5 → BC = 2 × 5 = 10 ; ou BC = 12 → MN = 12/2 = 6. Autre usage : le « triangle des milieux » (obtenu en joignant les milieux des trois côtés) a un périmètre égal à la MOITIÉ de celui du triangle de départ, car chacun de ses côtés vaut la moitié d'un côté d'origine.

Enfin, la partie « parallèle » du théorème sert à justifier que deux droites sont parallèles. Le petit piège à éviter : bien repérer si l'inconnue est le segment des milieux (on divise) ou le grand côté (on multiplie).

Comprendre

Ce concept met le théorème de la droite des milieux en action pour résoudre des problèmes de longueurs. La relation fondamentale est MN = BC/2, où [MN] joint les milieux de deux côtés et [BC] est le troisième côté. On l'utilise dans les deux sens. (1) Trouver le petit segment : si BC est connu, alors MN = BC/2 (ex.

BC = 12 → MN = 6). (2) Trouver le grand côté : si MN est connu, alors BC = 2 × MN (ex. MN = 5 → BC = 10). Il faut donc toujours identifier laquelle des deux longueurs est l'inconnue : si c'est le segment des milieux, on divise par 2 ; si c'est le troisième côté, on multiplie par 2. Deuxième usage courant : le périmètre du « triangle des milieux ».

En joignant les milieux des trois côtés d'un triangle ABC, on forme un petit triangle dont chaque côté vaut la moitié d'un côté d'origine (droite des milieux appliquée trois fois). Son périmètre est donc la moitié du périmètre de ABC (ex. périmètre ABC = 24 → périmètre du triangle des milieux = 12). Troisième usage : justifier un parallélisme, car le théorème garantit que le segment des milieux est parallèle au troisième côté.

Points de vigilance. (1) Distinguer l'inconnue (diviser ou multiplier par 2). (2) Ne pas oublier que le rapport est exactement 2 (ni 3, ni un autre). (3) Le résultat sur le périmètre vient de ce que chaque côté est réduit de moitié. Ce concept transforme le théorème en outil de calcul et de preuve.

Le cours

Après avoir énoncé le théorème de la droite des milieux et sa réciproque, on apprend à s'en servir pour calculer. Relation de base. Dans un triangle ABC, si M et N sont les milieux de [AB] et [AC], alors MN = BC/2. Cette égalité se lit dans les deux sens : MN = BC/2 (diviser par 2 pour obtenir le segment des milieux) et, de façon équivalente, BC = 2 × MN (multiplier par 2 pour obtenir le troisième côté).

Premier type de calcul : une longueur manquante. Si MN = 5, alors BC = 2 × 5 = 10. Si BC = 12, alors MN = 12/2 = 6. La première question à se poser est toujours : l'inconnue est-elle le segment des milieux (on divise) ou le troisième côté (on multiplie) ? Deuxième type de calcul : le périmètre du triangle des milieux.

On joint les milieux des trois côtés du triangle ABC : on obtient un petit triangle (le triangle des milieux). En appliquant la droite des milieux trois fois, chacun de ses côtés vaut la moitié d'un côté de ABC. Le périmètre du triangle des milieux est donc la moitié du périmètre de ABC.

Exemple : si le périmètre de ABC est 24 cm, celui du triangle des milieux est 24/2 = 12 cm. Troisième usage : prouver un parallélisme. Comme le théorème garantit (MN) ∥ (BC), on peut l'invoquer pour justifier que deux droites sont parallèles dès qu'on reconnaît un segment de milieux.

Points de vigilance. (1) Bien repérer l'inconnue pour choisir entre diviser et multiplier par 2. (2) Le rapport est exactement 2. (3) Pour le périmètre, on additionne les trois demi-côtés, ce qui revient à diviser le périmètre par deux. Retenir : MN = BC/2 ⟺ BC = 2 × MN, et le triangle des milieux a un périmètre moitié.

Les erreurs fréquentes

On divise par 2 alors que l'inconnue est le grand côté (ou on multiplie alors qu'on cherche le petit segment).

Si l'inconnue est le segment des milieux, on divise (MN = BC/2) ; si l'inconnue est le troisième côté, on multiplie (BC = 2 × MN). MN = 5 → BC = 10, pas 2,5.

Pour le triangle des milieux, on garde le même périmètre que le triangle de départ.

Chaque côté du triangle des milieux vaut la moitié d'un côté d'origine, donc son périmètre est la MOITIÉ (périmètre 24 → 12).

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer si l'inconnue est le segment des milieux (diviser par 2) ou le troisième côté (multiplier par 2).
• Calculer la longueur manquante (MN = 5 → BC = 10 ; BC = 12 → MN = 6).
• Déterminer le périmètre du triangle des milieux comme moitié du périmètre du triangle.

Vérifie que tu as compris

1. U et V sont les milieux de [RS] et [RT]. On mesure UV = 9. Quelle est la longueur ST ?

   Réponse 18

   Comme UV = ST/2, on a ST = 2 × UV = 2 × 9 = 18.

2. Le périmètre d'un triangle ABC est 24 cm. On joint les milieux des trois côtés pour former le « triangle des milieux ». Quel est son périmètre ?

   Réponse 12 cm

   Chaque côté du triangle des milieux vaut la moitié d'un côté de ABC (droite des milieux). Son périmètre est donc la moitié de celui de ABC : 24 / 2 = 12 cm.

3. Le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle mesure 7,5 cm. Combien mesure le troisième côté ?

   Réponse 15 cm

   L'inconnue est ici le troisième côté : on multiplie donc par 2. Comme MN = BC/2, on a BC = 2 × 7,5 = 15 cm. Diviser par 2 (3,75 cm) reviendrait à chercher le segment des milieux, alors qu'on le connaît déjà.